Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 - Cao Nghi Thục

Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tính chất chuỗi hội tụ; Tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi số dương; Tiêu chuẩn d’Alembert, Cauchy đối với chuỗi số dương; Chuỗi đan dấu. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích B1: Chương 3 - Cao Nghi Thục GIẢI  TÍCH  B1   GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Chương 3 Chuỗi số và chuỗi hàm I. Chuỗi số II. Chuỗi hàm 1.  Chuỗi  số Khái  niệm   ∞ ∑u n =1 n = u1 + u2 + ... + un + ...(1) được  gọi  là  chuỗi  số u1 , u2 ,... Trong  đó                                    gọi  là  các  số  hạng  của  chuỗi un   số  hạng  tổng  quát  của  chuỗi n S n = ∑ uk tổng  riêng  thứ  n  của  chuỗi Page  § 3 k =1 1.  Chuỗi  số Khái  niệm   lim Sn = S Nếu                                            hữu  hạn  thì  S  là  tổng  của  chuỗi  và   n→∞ chuỗi  hội  tụ  .  Ngược  lại  chuỗi  phân  kỳ. Rn = S − Sn = un+1 + un+2 + ... gọi  là  phần  dư  của  chuỗi Page  § 4 1.  Chuỗi  số VD1 ∞ n −1 2 n −1 Xét  chuỗi   ∑ aq n =1 = a + aq + aq + ... + aq + ... ( a ≠ 0, q ≠ 1) n n 1− q a aq Sn = a = − 1− q 1− q 1− q n n ⎛ a aq ⎞ a q < 1,lim q = 0 ⇒ lim Sn = lim ⎜ − ⎟ = n→∞ 1 − q 1 − q n→∞ n→∞ ⎝ ⎠ 1 − q Page  § 5 1.  Chuỗi  số VD2 ∞ n −1 2 n −1 Xét  chuỗi   ∑ aq n =1 = a + aq + aq + ... + aq + ... ( a ≠ 0, q ≠ 1) a Khi  đó  chuỗi  hội  tụ  và S = 1− q q ≥1 chuỗi  phân  kỳ                                                                                   Page  § 6 1.  Chuỗi  số VD3 ∞ 1 ∑ Chuỗi                                  phân   n =1 n kỳ Page  § 7 1.  Chuỗi  số Điều  kiện  cần  của  chuỗi  hội  tụ   Nếu  chuỗi  (1)  hội  tụ  thì   lim un = 0 n →∞ Hệ  quả  Nếu  số  hạng  tổng  quát  của  chuỗi  không  tiến  tới   n→∞ 0  khi                                thì  chuỗi  phân  kỳ   VD4 Chuỗi         ∞ n 1 2 n ∑ = + + ... + + ... n =1 n + 1 2 3 n +1 Phân  kỳ  vì                                                                       n lim =1≠ 0 Page  § 8 n →∞ n + 1 1.  Chuỗi  số Điều  kiện  cần  và  đủ  chuỗi  hội  tụ   Điều  kiện  cần  và  đủ  để  chuỗi  hội  tụ  là  với  mọi                     ε >0 cho  trước,  tìm  được  số  nguyên  dương  n0 sao  cho  khi p p > q ≥ n0 ta  có     S − S = p q ∑u k 1.  Chuỗi  số Tính  chất  chuỗi  hội  tụ   ∞ ∞ cu n ∑ Nếu                        hội  tụ  và  tổng  là  S  thì                                hội  tụ  và   ∑ un n =1 n =1 tổng  cS   ∞ ∞ ∞ ∑ un , ∑ vn Nếu                                                      hội  tụ  thì                                              hội  tụ  và       ∑ (un + vn ) n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∑ (u n =1 n + vn ) = ∑ un + ∑ vn n =1 n =1 Page  § 10 1.  Chuỗi  số Tính  chất  chuỗi  hội  tụ   Tính  hội  tụ  hay  phân  kỳ  của  chuỗi  không  thay  đổi  khi  ta   bớt  đi  một  số  hữu  hạng  số  hạng  đầu  tiên     Page  § 11 1.  Chuỗi  số Tiêu  chuẩn  so  sánh  đối  với  chuỗi  số  dương   Tiêu  chuẩn  so  sánh  1   ∞ ∞ un , vn un ≤ vn Cho  2  chuỗi  số  dương                                                          và           ∑ ∑ (n = 1,2,3,...) n =1 ...