Bài giảng Giải tích III: Phần 2 - TS. Bùi Xuân Diệu (2019)

Phần 2 của bài giảng "Giải tích III (2019)" tiếp tục cung cấp cho học viên những nội dung về: phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp một; phương trình vi phân cấp hai; đại cương về hệ phương trình vi phân cấp một; phương pháp toán tử Laplace; đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích III: Phần 2 - TS. Bùi Xuân Diệu (2019) CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (11 LT + 12 BT) Để miêu tả các quá trình trong tự nhiên, người ta thường diễn đạt chúng dưới các dạngcác mô hình toán học, cho dù là dưới dạng trực giác hay là dưới dạng các định luật vật lýdựa trên các nghiên cứu thực nghiệm. Các mô hình toán học này thường được biểu diễndưới dạng các phương trình vi phân, các phương trình chứa một ẩn hàm và các đạo hàmcủa nó. Điều này có lẽ không gây ngạc nhiên, bởi vì trong thực tế chúng ta thường bắt gặprất nhiều các quá trình có sự thay đổi, mà sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đótại một thời điểm t thì chính là đạo hàm của đại lượng đó tại t. Chẳng hạn như, vận tốcchính là đạo hàm của hàm khoảng cách, và gia tốc thì chính là đạo hàm của hàm vận tốc.Ngoài ra, chúng ta cũng muốn dự báo giá trị tương lai dựa trên sự thay đổi của các giá trịhiện tại. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một vài ví dụ đơn giản dưới đây. Mô hình tăng trưởng dân số. Một mô hình (đơn giản nhất) cho sự tăng trưởng dân số là dựa vào giả thiết rằng dânsố tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn của nó. Tất nhiên, giả thiết này chỉ đạt được với điều kiệnlý tưởng, đó là môi trường sống thuận lợi, đầy đủ thức ăn, không có dịch bệnh, ... Trongmô hình này, t = thời gian (biến độc lập) P = Số lượng cá thể (biến phụ thuộc) Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của P theo t, dP/dt. Do đó, giả thiết rằngdân số tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn của nó có thể được viết dưới dạng phương trình sauđây dP = kP (2.1) dtở đó k là tỉ lệ tăng dân số, là một hằng số. Phương trình 2.1 là phương trình dạng đơn giảnnhất cho mô hình tăng trưởng dân số. Nó là một phương trình vi phân vì nó chứa một ẩnhàm P và đạo hàm của nó dP/dt. 9394 Chương 2. Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT)Ví dụ 0.1. Theo số liệu tại www.census.gov vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt tới6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là mức tăng dân sốtự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng: (a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu? (b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu? (c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới 60 tỉ mà các nhà nhân khẩu học tin là mức tối đa mà hành tinh của chúng ta có thể cung cấp đầy đủ lương thực? Mô hình cho sự chuyển động của lò xo vị trí m 0 cân bằng m x Bây giờ chúng ta chuyển sang một ví dụ về một mô hình xuất hiện trong vật lý. Chúngta xét sự chuyển động của một vật thể có khối lượng m được gắn vào một lò xo thẳng đứng(xem hình vẽ trên). Theo Định luật Hooke, nếu lò xo được kéo dãn (hay nén lại) x-đơn vịkhỏi vị trí cân bằng của nó thì sẽ xuất hiện một phản lực mà tỉ lệ với x: phản lực = −kxở đó k là một hằng số dương (được gọi là hằng số lò xo). Nếu chúng ta bỏ qua mọi ngoạilực, thì theo Định luật 2 của Newton (lực bằng khối lượng nhân với gia tốc), ta có d2 x m 2 = −kx (2.2) dtĐây là một ví dụ về một dạng phương trình vi phân cấp hai, vì nó chứa đạo hàm cấp haicủa ẩn hàm. Hãy xem chúng ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình đã cho như thếnào. Trước hết, phương trình 2.2 có thể được viết dưới dạng sau d2 x k 2 = − x, dt m 941. Các khái niệm mở đầu 95 nghĩa là đạo hàm cấp hai của x tỉ lệ với x nhưng có dấu ngược lại. Chúng ta đã biết hai hàm số có tính chất này ở phổ thông, đó là các hàm số sine và cosine. Thực tế, mọi nghiệm của phương trình 2.2 đều có thể viết dưới dạng tổ hợp của các hàm số sine và cosine. Điều này có lẽ cũng không gây ngạc nhiên, bởi vì chúng ta dự đoán rằng vật thể này sẽ dao động xung quanh điểm cân bằng của lò xo, cho nên sẽ thật hợp lý nếu nghiệm của nó có chứa các hàm lượng giác. Ví dụ 0.2. Chứng minh rằng với mọi C1 , C2 ∈ R, các hàm số sau đây đều là nghiệm của phương trình 2.2: r r ...