Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến” giới thiệu khoảng cách ly nghiệm, cách giải gần đúng pt f(x) = 0. công thức sai số tổng quát, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp Newton,… Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến CHƯƠNG 2 GIẢI GẦN ĐÚNGPHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾNI. ĐẶT BÀI TOÁN : Bài toán : tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 với f(x) là hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b).1. Khoảng cách ly nghiệm Khoảng đóng hay mở trên đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình gọi là khoảng cách ly nghiệmĐịnh lý : Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên [a,b]. Nếu hàm f đơn điệu ngặt thì nghiệm là duy nhất.[a, b] là KCLN của pt khi➢ f(a) f(b) < 0➢ Đạo hàm f’ không đổi dấu a b trên đoạn [a,b]Ví dụ :Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) = 3x2 + lnx= 0Giải : f’(x) = 6x +1/x >0 ∀x>0f hàm tăng ngặt nên pt có tối đa 1 nghiệm f(0.3)= -0.93, f(0.4)=-0.44, f(0.5)=0.057 Vây khoảng cách ly nghiệm là (0.4,0.5)Ví dụ :Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) = x3 - 3x + 1 = 0giải :Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệtx -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) - - -1 3 1 -1 3 + +Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm trong các khoảng(-2, -1) (0, 1) (1,2)Vì pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nên các khoảng cách lynghiệm là : (-2,-1) (0,1) (1,2)Bài tập :1. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) =ex –x2 + 3x -2Giải f’(x) = ex - 2x + 3Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) - - - - - + + + + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1]. Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1)2. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 f’(x) = cosx –xsinx -4x +3 Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) - - - - + + - - - Nhận xét : f’(x) < 0 ∀x∈[1,2], f’(x) > 0 ∀x∈[-1,0] Vây các khoảng cách ly nghiệm : (-1. 0), (1,2)2. Cách giải gần đúng pt f(x) = 0➢ B1: tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm➢ B2: trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhCác phương pháp giải gần đúng➢ Phương pháp chia đôi➢ Phương pháp lặp đơn➢ Phương pháp lặp Newton3. Công thức sai số tổng quát :Định lý :Giả sử f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)Nếu x* , x là nghiệm gần đúng và nghiệm chínhxác của phương trình và |f’(x)| ≥ m > 0, ∀x ∈(a,b)thì sai số được đánh giá theo công thức : |x* - x| ≤ |f(x*)| / mVí dụ : Xét phương trình f(x) = 2x3 - 3x2 - 5x + 1 =0trên khoảng [2.2, 2.6]Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 2.45Giải f’(x) = 6x2 - 6x - 5 g(x)=|f’(x)| = 6x2 -6x-5, ∀x∈[2.2,2.6] g’(x)=12x-6>0, ∀x∈[2.2,2.6], g(2.2)=10.84⇒ |f’(x)| ≥ 10.84 = m, ∀x∈[2.2,2.6]Sai số |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.0143Ghi nhớ : sai số luôn làm tròn lênVí dụ : Xét phương trình f(x) = 5x+ -24 = 0trên khoảng [4,5]Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 4.9Giải f’(x) = 5 +=> |f’(x)| ≥ 5 + = m, ∀x∈[4,5]Sai số |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.3485II. Phương Pháp Chia Đôi Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) < 0.Ý nghĩa hình học ao x1 x2 xo bo a b a1 b1 a2 b21.Đặt [ao,bo]=[a, b], d0=b0-a0=b-aChọn xo là điểm giữa của [a0,b0]Ta có xo = (a0+b0) / 2Nếu f(xo) = 0 thì xo là nghiệm → xong 2. Nếu ▪ f(ao)f(xo) < 0 : đặt a1 = ao, b1 = xo ▪ f(xo)f(bo) < 0 : đặt a1 = xo, b1 = bo Ta thu được [a1, b1] ⊆ [ao,bo] chứa nghiệm x d1 = b1-a1= (b-a)/2, điểm giữa x1 = (a1+b1) / 23. Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần ta được [an, bn] ⊆ [an-1,bn-1] chứa nghiệm x dn = bn-an= (b-a)/2n, f(an)f(bn) < 0 điểm giữa xn = (an+bn) / 2, an ≤ xn ≤ bn Ta có lim xn = x Vậy xn là nghiệm gần đúng của pt Công thức sai số |xn – x| ≤ (b-a) / 2n+1Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt f(x) = 5x3 - cos 3x = 0trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với n=3GiảiTa lập bảng n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) Δn 0 0 - 1 + 0.5 + 0.5 1 0 - 0.5 + 0.25 - 0.25 2 0.25 - 0.5 + 0.375 - 0.125 3 0.375 - 0.5 + 0.4375 0.0625 Nghiệm gần đúng là x3 = 0.4375Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt f(x) = 2+cos(ex-2)-ex = 0trên khoảng [0.5,1.5] với sai số 0.04GiảiTa lập bảng n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) Δn 0 0.5 + 1.5 - 1 + 0.5 1 1 + 1.5 - 1.25 - 0.25 2 1 + 1.25 - 1.125 - 0.125 3 1 + 1.125 - 1.0625 - 0.0625 4 1 + 1.0625 - 1.03125 0.03125Nghiệm gần đúng là x = ...