Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 1 trình bày về lý thuyết chuỗi. Trong bài 1 này các bạn sẽ tập trung tìm hiểu về chuỗi số với những nội dung cơ bản như: Đại cương về chuỗi số, chuỗi số dương. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI § 1. Đại cương về chuỗi số• Định nghĩa • Các tính chất cơ bản• Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 1 1 1 1Đặt vấn đề: 1 + + + + + n + = 2 2 4 8 2• Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?• 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ?1. Chuỗi số:Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kíhiệu là {an } .Định nghĩa: ∞Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 + a2 + a3 + là chuỗi số, ký hiệu là ∑ an , n =1an là số hạng tổng quát.Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn = S thì ta bảo chuỗi hội tụ, n →∞ ∞có tổng S và viết: ∑ an = S . n =1 ∞Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi ∑ an phân kỳ. n =1 ∞Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính ∑ qn n =0 n +1 1− qSn = 1 + q + q 2 + + q n = , q PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  1  lim Sn = lim  1 − =1n →∞ n →∞  n + 1  ∞ 1∑ n ( n + 1) = 1n =1 ∞ 1 1 1 1Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ ∑ n (Chuỗi điều hoà) Sn = 1 + + + + 2 3 n n =1Lấy n > 2m +1 có 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1 Sn > 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  + +  m + + m +1  2 3 2  2 3 4 5 8 2 +1 2  1 1 1 1 1> + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1) 2 4 8 2 2Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞ n →∞Chuỗi đã cho phân kỳ ∞ 1Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương: ∑ n2 n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Sn = 1 + + ++ = 1+ + ++ < 1+ + + + 22 32 n2 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 ( n − 1) n 1 1  1 1   1 1   1 1 1= 1+  −  +  −  +  −  + +  −  =2− PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n∑ n + 1 phân kỳn =1 ∞ ∑ ( −1) nVí dụ 6. = 1 + ( −1) + 1 + ( −1) + n =1 n 1 n ch½nCó lim ( −1) =  n →∞  −1 n lÎ. nKhông tồn tại lim ( −1) n→∞ ∞∑ ( −1) n phân kỳ.n =1 3 5 2n + 1Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau + ++ 2 + (ĐS: 1) 4 36 2( ) n n +1 ∞ n  n − 1Ví dụ 8. ∑   n + 1   (PK) n =1Tính chất. Giả sử lim an = a, lim bn = b n →∞ n →∞• lim (α an + β bn ) = α a + ...