Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên; ước lượng điểm; Ước lượng bằng khoảng tin cậy. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 4: THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vnNỘI DUNG CHÍNH4.1 LÝ THUYẾT MẪU4.2 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐLNN4.2.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM4.2.2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY4.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 4.2 Ước lượng tham số của ĐLNN 4.2.1. Ước lượng điểmGiả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đám đông nào đó. • Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn) • Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn). • Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính toán θ*tn = f (x1,x2,…,xn) Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ.CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ BẢN CHẤT TỐT CỦAƯỚC LƯỢNGa. Ước lượng không chệch (unbiased estimator)b. Ước lượng vững (consistent estimator)c. Ước lượng hiệu quả (efficient estimator)a. Ước lượng không chệch. Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệchcủa θ nếu E(θ*) = θNgược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệchcủa θ .b. Ước lượng vữngθ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu vớimọi ε > 0 ta có: lim ? ( ? ∗ − ? < ?) = 1 ?→∞Ví dụ:? là ước lượng vững của μ.f là ước lượng vững của p.c. Ước lượng hiệu quả (không chệch tốt nhất)θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó làước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhấtso với mọi ước lượng không chệch khác được xâydựng trên cùng một mẫu.Hạn chế của phương pháp ước lượng điểm• Kết quả ước lượng không đáng tin cậy nếu nkhông đủ lớn.• Không chỉ ra sai số, độ tin cậy của ước lượng=> Phương pháp: Ước lượng bằng khoảng tin cậy4.2.2. Ước lượng bằng khoảng tin cậya. Ước lượng khoảng, khoảng tin cậy và độ tin cậyGiả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đámđông. Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn), Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê: G = f(X1,X2, …, Xn, θ)sao cho G có quy luật xác địnhVới γ = 1 - α cho trước, xác định α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 thỏamãn α1+ α2 = αTừ đó xác định các phân vị g1- α1 và gα2 ? ?1−?1 < ? < ??2 = 1 − ?1 − ?2 = 1 − ? ? ?1∗ < ? < ?2∗ = 1 − ?Xác suất  = 1 - α được gọi là độ tin cậyKhoảng ?1∗ , ?2∗ được gọi là khoảng tin cậy? = ?2∗ − ?1∗ được gọi là độ dài khoảng tin cậyChú ý:+ Thường chọn độ tin cậy khá lớn như 0,9; 0,95 hay 0,99….theo nguyên lý xác suất lớn thì biến cố (θ*1 < θ < θ*2 ) hầuchắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.+ Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α.+ Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Student nếuchọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin cậy ngắn nhất và đó làcác khoảng tin cậy đối xứng+ Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ ta chọnα1= α hoặc α2 = α b. Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN Giả sử ĐLNN X trên đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2 trong đó μ chưa biết. Bài toán đặt ra: từ mẫu ngẫu nhiên thu được, ta ước lượng μTrường hợp 1: ĐLNN gốc X phân phối chuẩn, σ2 đã biếtTrường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối chuẩn, σ2 chưabiếtTrường hợp 3: Chưa biết luật PPXS của X, nhưng n > 30TRƯỜNG HỢP 1: ĐLNN GỐC X PHÂN PHỐICHUẨN, Σ2 ĐÃ BIẾT ?2Vì ? ∼ ? ?, ? 2 nên ?ሜ ∼ ? ?, ? ?ሜ − ? ? = ? ∼ ? 0,1 ? Xác suất Khoảng tin cậyHai phía ?( ? < ??/2 ) = 1 − ? = ? ? ? ? − ?? ; ? + ?? 2 ? 2 ? Trái ?(−?? < ?) = 1 − ? = ? ? −∞ ; ? + ?? ? Phải ?(? < ?? ) = 1 − ? = ? ? ? − ?? ; +∞ ?Ta có 3 bài toán cần giải quyết:Bài toán 1: Cho n, cho ? , tìm sai số hoặc khoảng tin cậyBài toán 2: Cho n, cho sai số ε hoặc khoảng tin cậy, tìm độtin cậy.  n  u / 2 =    = 1−  2Bài toán 3: Cho độ tin cậy, cho sai số hoặc khoảng tin cậy, tìm n 2 ? 2 ??/2 ?= ?2Chú ý: Nếu biết μ, cần ước lượng ?ത ta sẽ có:? ? − ? < ?ത < ? + ? = 1 − ? = ?TRƯỜNG HỢP 2: ĐLNN GỐC X PHÂN PHỐI CHUẨN,Σ2 CHƯA BIẾTVì ? ∼ ? ?, ? 2 nên ta xây dựng thống kê ?ሜ − ? ?= ∼? ?−1 ?′ ? Xác suất Khoảng tin cậyHai phía (?−1) ?′ ?( ? < ??/2 ) = ...