Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Tìm hiểu hàm nhiều biến

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm số, đạo hàm riêng,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Tìm hiểu hàm nhiều biến C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢNĐịnh nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, kýhiện (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n -chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x1,x2,… xn),y = (y1,y2,… yn) Rn: n d ( x , y) (x i yi ) 2 i 1 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1 C3. HÀM NHIỀU BIẾNMột số tính chất của d: a) d(x,y) 0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) d(x,z) + d (z,y)Lân cận: Cho x0 Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x Rn: d(x,x0)< r} được gọi là một lân cận của x0.Điểm trong: Điểm x0 Rn được gọi là điểm trong của D Rnnếu D chứa một lân cận của x0.Điểm biên, tập đóng: Điểm x0 Rn được gọi là điểm biên củaD Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y:x D, y D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biêncủa D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐiểm giới hạn: Điểm x0 Rn được gọi là điểm giới hạn của DRn nếu mọi lân cận của x0 chứa ít nhất một điểm x: x D, x≠x0.Đặc biệt, nếu điểm x0 D không phải là điểm giới hạn thì nóđược gọi là điểm cô lập của D.Hàm nhiều: D Rn. Một ánh xạ f: D R, tức là một qui tắc (x1,x2,… xn) D một số thực z được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x 2 ,...x n )  z f ( x1, x 2 ,...x n ) D: miền xác định f(D) = {z D z = f(x1, x2,… xn), (x1, x2,… xn) D} gọilà miền giá trị 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾNHàm 2 biến: D R2. Một ánh xạ f: D R, tức là một qui tắc(x,y) D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x , y)  z f ( x , y) D: miền xác định f(D) = {z D z = f(x,y), (x,y) D} gọi là miền giá trịVí dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) z 1 x 2 y2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐĐịnh nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D R2 vàM0(x0,y0) là điểm giới hạn của D . Số thực L được gọi là giớihạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M0(x0,y0), nếu: > 0, > 0: d(M,M , 0) < => f(M) – L < d(M, M 0 ) (x , x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 lim f (M ) L lim f ( x , y) L lim f ( x , y) L M M0 ( x , y) ( x 0 , y0 ) x x0 y y0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối vớihàm số một biến.• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm sốmột biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.Ví dụ: xy lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x2 y2 sin( x 2 y2 ) lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x2 y2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 6 C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐịnh nghĩa: Nếu lim f ( x , y) f (x 0 , y0 ) ( x ,y) ( x 0 , y0 ) Thì f được gọi là liên tục tại (x0,y0)• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm sốmột biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D R2 thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNGĐịnh nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D,M0(x0,y0) D. Nếu cho y = y0, y0 là hằng số, hàm số một biếnf(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạohàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: f z f x ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 ) x x Đặt x f = f(x0 + x, y0) - f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. f xf (x 0 , y0 ) lim ,f x x x 0 x 05/31/18 Hàm số và giới ...