Bài giảng Toán rời rạc: Lý thuyết tập hợp - Nguyễn Thành Nhựt

Chương này trình bày một số nội dung liên quan đến lý thuyết tập hợp như: Định nghĩa tập hợp, lực lượng của tập hợp, quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán tập hợp, ánh xạ,... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán rời rạc: Lý thuyết tập hợp - Nguyễn Thành NhựtLÝ THUYẾT TẬP HỢP Định nghĩa Tập hợp1. Khái niệm Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học. Ví dụ: 1) Tập hợp sinh viên của một trường đại học. 2) Tập hợp các số nguyên 3) Tập hợp các trái táo trên một cây cụ thể. Sơ đồ Ven: Lực lượng của tập hợpĐịnh nghĩa Số phần tử của tập hợp A được gọi là lực lượng của tậphợp, kí hiệu |A|. Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn. Ngược lại, ta nói A vô hạn. Ví dụ. N, Z, R, là các tập vô hạn X = {1, 3, 4, 5} là tập hữu hạn |X|=4 Cách xác định tập hợpLiệt kê tất cả các phần tử của tập hợp A={1,2,3,4,a,b}Đưa ra tính chất đặc trưng B={ n ∈N | n chia hết cho 3} Quan hệ giữa các tập hợpTập hợp con A là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều nằm trong B. Ký hiệu: A ⊂ B. A B A B A BHai tập hợp bằng nhau A = B nếu mọi phần tử của A đều nằm trong B và ngược lại.2. Các phép toán tập hợp• a. Phép hợp – Hợp của tập A và tập B là tập hợp tạo bởi tất B cả các phần tử thuộc A A hoặc thuộc B. ( x ∈ A ∪ B) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B) – Ký hiệu: A∪ B – Ví dụ: dụ: A = {a, b, c, d }   ⇒ A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } B = {c, d , e, f } Tính chất phép hợp1. Tính lũy đẳng A∪ A= A2. Tính giao hoán A∪ B =B ∪ A3. Tính kết hợp A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C4. Hợp với tập rỗng ∅ ∪ A = A∪∅ = A Phép giao – Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. ( x ∈ A ∩ B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B) – Ký hiệu: A∩ B A A∩ B B – Tính chất: A∩ A = A 1) Tính lũy đẳng 2) Tính giao hoán A∩ B =B ∩ A 3) Tính kết hợp A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C 4) Giao với tập rỗng ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅Tính phân phối của phép giao và hợp 1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 2) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) Hiệu của hai tập hợp• ĐN: – Hiệu của hai tập hợp là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc tập A B này mà không thuộc tập kia ( x ∈ A B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B) – Ký hiệu AB Luật De Morgan: 1) A∩ B = A∪ B 2) A ∪ B = A ∩ B Tập bù• Nếu A là con của B thì BA được gọi là tập bù của A trong B. BA A Tập các tập con của một tập hợpĐN: Cho X là một tập hợp. Khi đó tập tất cả các tập con của X được ký hiệu là P(X)Ví dụ X = {a, b} P( X ) = {∅,{a},{b},{a, b}} Y = {1, 2,3}, P(Y ) = ? | X |= n  → | P( X ) |= ? Tích Đề CácĐN: Tích Đề các của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với x ∈ A , y ∈ B ( x, y) ∈ A × B ⇔ ( x ∈ A ∧ y ∈ B) – Ký hiệu A.B hoặc A× B – Chú ý: Tích của 2 tập hợp không có tính chất giao hoán. | A × B |= ? Mở rộng các phép toán cho nhiều tập hợpCác phép toán giao, hợp, tích có thể mở rộng cho nhiều tậphợp IA i = {x ∀i ∈ I, x ∈ A i } i∈I UA i = {x ∃i ∈ I, x ∈ A i } i∈I ∏ A i = {(x i ) i∈ I ∀ i ∈ I , x i ∈ A i } i∈ I Bài tập• Tại lớp: 1, 2, 3, 4, 5, 6ab, 7ab, 8ab, 9ab, 10ab, 11ab, 12a, 14, 15a• Về nhà: còn lại.ÁNH XẠ Khái niệm1. Định nghĩa. Cho hai tập hợp X, Y ≠ ∅. Ánh xạ giữa haitập X và Y là một qui tắc f sao cho mỗi x thuộc X tồn tạiduy nhất một y thuộc y để y = f(x) Ta viết: f : X  →Y x a f ( x) Nghĩa là ∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y : y = f ( x) Ví dụCả hai đều Không là ánh xạ Ánh xạ bằng nhauĐịnh nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằngnhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) và g(x) =x2-1 từ R->RTa có (x-1)(x+1) = x2 – 1 nên f(x) = g(x) ∀x ∈ RVậy hai ánh xạ này bằng nhau. Ảnh và ảnh ngược• Cho ánh xạ f từ X vào Y và A ⊂ X, B ⊂ Y. Ta định nghĩa:• f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A Ảnh và ảnh ngược f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Như vậy y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x).f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B f–1(B) Như vậy x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B ...