Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa nguyên hàm, tích phân bất định, công thức nguyên hàm cơ bản, tích phân hàm mũ, phương trình vi phân,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân và ứng dụng TÍCH PHÂN & CHƯƠNG ỨNG DỤNG 4 ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: F ¢(x ) = f (x ), x Î (a , b ) Ví dụ 1. · t a n x laømoä t nguyeân haø ( m cuû ) a 1 + t an2 x ìïï p üïï treâ n R \ í (2n + 1) ý ïîï 2 ïþï x x · a laømoä t nguyeân haø m cuû a a ln a treâ n R. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu: ò f (x )dx Được xác định như sau: ò f (x )dx = F (x )+ C F(x) là một nguyên hàm của f(x). C: hằng số tùy ý. TÍNH CHẤT é ù¢ i ) ê ò f (x )dx ú = f (x ) ë û ii ) ò k . f (x )dx = k ò f (x )dx iii ) ò éêf (x )+ g (x )ùúdx = ò f (x )dx + ò g (x )dx ë û CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1. ò k dx = 2. ò x a dx = dx dx 3. ò b = 4. ò = x x 5. ò a x dx = 6. ò e a x dx = VÍ DỤ 2. Tính các tích phân sau 2x + 1 a .ò x (x + 1) dx ( ) b. ò e x e 2 x + 1 - 3 dx x 2 + 3x - 1 c.ò dx x VÍ DỤ 3. Tính các tích phân sau ( a . ò x 3 cos x 4 + 2 dx ) b. ò 2x + 1dx c.ò 1 + x 2 .x 5dx VÍ DỤ 4. Tính các tích phân sau 2 1 2 x a) ò 4 - x dx b) ò 2 dx 0 0 1+ x 1 2 dx dx c)ò 2 d )ò 0 1+ x 2 x x2 - 1 VÍ DỤ 5. Tính các tích phân sau a ) ò x ln xdx b ) ò (2x + 1)sin xdx c ) ò x cos xdx d ) ò x a rct a n xdx TÍCH PHÂN HÀM MŨ (i ) ò e x dx = e x +C Công thức: 1 ax + b (ii ) ax + b ò e dx = a e + C (iii ) ò e u du = e u +C Ví dụ 6. Tính các tích phân sau: 4x x4 3 a) A = ò 3e dx b) B = ò e 4 x dx I0 - x2 c)C = ò xe dx d ) D = a . ò e - T x dx 0 VÍ DỤ 7. Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm (1;0) và: dy x+ 3 = e dx Đáp án: y = 2 ( ex+ 3 - e2 ) VÍ DỤ 8. 1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm. 2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm. VÍ DỤ 9. Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày. Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày. Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người. VÍ DỤ 10. Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi: p ' (x ) = - 0, 015e - 0,01x Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp. Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$ Đáp số: p (x ) = 1, 5e - 0,01x + 3, 44 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tăng trưởng giới hạn Tăng trưởng không giới hạn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm dy = 6x 2 - 4 x y ' = - 400e - 0,01x dx dy 2 dy = ky y - xy '+ x = 5 = 2xy dx dx Nghiệm của PTVP là hàm số??? PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài toán lãi kép liên tục Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu A là số tiền có được sau thời gian t Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận ...