Bài toán thẳng hàng và đồng quy

Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó khi và chỉ khi ABC = 180 0 Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm C thuộc AB sao cho CA
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán thẳng hàng và đồng quy Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy BÀI TOÁ THẲ G HÀ G A. M T S PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH BA ĐI M TH NG HÀNG. 1. Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó khi và chỉ khi ABC = 180 0 Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm C thuộc AB sao cho CA < CB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó. Đường thẳng qua M, vuông góc với MC cắt tiếp tuyến qua A của nửa đường tròn tại N. Đường thẳng qua C, vuông góc với NC cắt tiếp tuyến qua B của nửa đường tròn tại P. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Giải: N M P A B C O M ∈ nửa đường tròn đường kính AB ⇒ AMB = 900 mà NMC = 900 ⇒ NMA = CMB Tứ giác ANMC có NAC + NMC = 1800 ⇒ tứ giác ANMC nội tiếp ⇒ NMA = NCA lại có ∆ANC và ∆BCP đồng dạng ⇒ NCA = CPB . Vậy CMB = CPB ⇒ tứ giác CMPB nội tiếp ⇒ CMP = 900 ⇒ NMC + PMC = 1800 ⇒ N, M, P thẳng hàng . Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 1 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến qua A, C cắt nhau ở M. Vẽ hình bình hành ACMN. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) ở D. Chứng minh N, D, C thẳng hàng. Giải: N A D M O B C ADN = AMN ( hai góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cùng chắn AN ). NMA = CAM ( vì NM // AC ) CAM = CBA ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của đường tròn (O) cùng chắn AC ) CBA + CDA = 1800 ( vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O)) Vậy ADN + CDA = 1800 hay ba điểm N, D, C thẳng hàng. 2. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi đường thẳng AB và AC cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó. Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 2 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là trung điểm của cung AB, K là trung điểm của đoạn BC. AK cắt (O) tại M. Kẻ CH vuông góc với AM. OH cắt BC tại N. MN cắt (O) tại D. Chứng minh rằng B, H, D thẳng hàng. Giải: C D N M K H B A O AMB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) hay BM ⊥ AM mà CM ⊥ AM ⇒ MB // CH lại có KC = KB nên tam giác KMB = tam giác KHC ⇒ BH // CM. (1) lại có OC = OM ⇒ O ∈ trung trực của CM . CMA = 450 , CHM = 900 ⇒ tam giác CHM vuông cân ⇒ CH = MH ⇒ H ∈ trung trực của CM. Vậy OH là trung trực của CM. ⇒ N ∈ trung trực của CM hay NC = NM ⇒ tam giác NCM cân ⇒ NCM = NMC lại có DMC = DBC ( hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn DC Vậy BCM = CBD ⇒ DB // CM (2) Từ (1) và (2) ⇒ D, H, B thẳng hàng. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi A1 ;B1 ;C1 là trung điểm của các cung BC;CA;AB của đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. A1C1 cắt AB ở M, A1B1 cắt AC ở N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng. Vũ Đức Kiên – Trường Thực hành sư phạm, CĐSP Quảng Ninh trang 3 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Thẳng hàng và đồng quy Giải: A C1 B1 M N I O B C A1 Dễ thấy AA1 ;BB1 ;CC1 đồng quy tại I. 1 1 1 ( )( ) ⇒ tam A1IC = sdA1C + sdC1A = sdA1B + sdBC1 = sdA1C1 = A1CI 2 2 2 giác A1IC cân. Lại có AA1B1 = CA1B1 (hai góc nội tiếp (O) chắn hai cung bằng nhau AB1 = B1C Vậy A1B1 là trung trực của IC nên tam giác NIC cân ⇒ NIC = NIC mà NCI = ICB ⇒ NIC = ICB ⇒ IN // BC. Chứng minh tương tự ta được IM // BC. Vậy N, I, M thẳng hàng. Ví dụ 5: Cho nửa đường tròn đường kính ...