Biến đổi ROURIER rời rạc

Phép biến đổi Rourier rời rạc là phép biến đổi Fourier được áp dụng để rời rạc hóa một chuỗi giá trị phức. Phép biến đổi Fourier rời rạc được áp dụng như lọc nén ảnh, phóng đại ảnh, chúng ta sẽ nghiên cứu 2-D DFT và các kỹ thuaatjj tính toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến đổi ROURIER rời rạc BiÕn ®æi Fourier rêi r¹c (DFT)I. Më ®Çu : PhÐp biÓn ®æi Fourier rêi r¹c lµ phÐp biÕn ®æi Fourier ®îc ¸p dông ®Ó rêir¹c ho¸ mét chuçi gi¸ trÞ phøc. PhÐp biÕn ®æi Fourier rêi r¹c (DFT) ®îc ¸p dông vµo nhiÒu øng dông nhläc, nÐn ¶nh, phãng ®¹i ¶nh. chóng ta sÏ nghiªn cøu 2-D DFT vµ c¸c kü thuËttÝnh to¸n. §Çu tiªn, chóng ta sÏ xem xÐt DFT mét chiÒu, sau ®ã më réng ra choDFT 2 chiÒu. Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n :  DFT ®èi víi tÝn hiÖu t¬ng tù : Víi mét hµm liªn tôc mét biÕn F(t), phÐp biÕn ®æi Fourier F(f) ®îc ®Þnh nghÜa lµ: vµ biÕn ®æi ngîc víi j lµ c¨n bËc 2 cña -1 vµ e biÓu thÞ sè mò tù nhiªn.  DFT ®èi víi tÝn hiÖu rêi r¹c : Gi¶ sö mét chuçi phøc X(k) víi phÐp lÊy mÉu gåm N mÉu : x1, x2, x3,… xk, … xN-1 Víi x lµ sè phøc PhÐp biÕn ®æi Fourier cña chuçi nµy ®îc biÓu thÞ X(k) gåm N mÉu PhÐp biÕn ®æi thuËn ®îc ®Þnh nghÜa : PhÐp biÕn ®æi ngîc: Víi chuçi sè thùc t¬ng tù víi phÇn ¶o = 0.II. DFT cho tÝn hiÖu mét chiÒu :1. §Þnh nghÜa :  BiÕn ®æi Fourier 1-D cho tÝn hiÖu thêi gian rêi r¹c f(kT) tÝnh theo c«ng thøc : N 1  j 2  nk F ( n)   f ( kT )e N k 0 C«ng thøc nµy cã thÓ viÕt l¹i díi d¹ng N 1  f (k ) ¦ WN nk  F ( n)  n 0 ë ®©y f(k) = f(kT) vµ WN = e- j2 /N WN ®îc gäi lµ h¹t nh©n cña . phÐp biÕn ®æi. Tæng qu¸t, F(n) cã d¹ng F (n)  A(n)e j ( n ) Ký hiÖu A(n),  (n) gäi lµ phæ khuyÕch ®¹i vµ phæ pha cña F(n).  BiÕn ®æi ngîc DFT Hµm f(k) lµ biÕn ®æi ngîc DFT cña F(n) cho bëi theo biÓu thøc 2 N 1 j nk 1  F ( n)e N f (k )  N n 0 Khi f(k) cã thÓ rót ra tõ F(n) vµ ngîc l¹i, chóng gäi lµ cÆp biÕn ®æi. CÆp biÕn ®æi nµy cã d¹ng f ( k )  F ( n) MÆc dï f(k) ®îc x¸c ®Þnh trªn miÒn k  [0,N], nã vÉn lµ tÝn hiÖu tuÇn hoµn víi chu kú NT.2. Mét sè tÝnh chÊt cña DFT :  TÝnh chÊt 1 : TuyÕn tÝnh. NÕu ta cã hai d·y tuÇn hoµn cïng f1(n) vµ f2(n), vµ c¶ hai d·y nµy tuÇn hoµn víi chu kú N, ®îc dïng ®Ó tÝnh f3(k) = af1(k) + bf2(k) lµ kÕt qu¶ cña b iÕn ®æi DFT f3(n) cho bëi F3(n) = aF1(n) + bF2(n) ë ®©y a, b lµ h»ng sè vµ F1(n) = DFT cña f1(k) F2(n) = DFT cña f2(k) TÝnh chÊt 2 :TÝnh ®èi xøng. TÝnh ®èi xøng cña DFT rÊt hay ®îc dïng. N 1 F ( N  n)   f (k )WN k ( N  n ) k 0 2 2 N 1 j N j nk   f ( k )e N N e k 0 2 N 1 j n k   f ( k )e e N k 0  2  N 1  j .nk  F ( N  n)    f ( k )e N   F ( n)  NÕu f(k) lµ thùc th×  k 0    DÊu * cã nghÜa lµ liªn hîp phøc. TÝnh chÊt 3 : TÝch chËp tuÇn hoµn. Coi f1(k) vµ f2(k) lµ hai d·y tuÇn hoµn cã chu kú N, víi biÕn ®æi Fourier rêi r¹c lµ F1(n) vµ F2(n). Xem xÐt tÝch F(n1).F(n2) N 1  f1 (k1 )W N n k  khi 11 F1 ( n1 )  k1 0 N 1  f 2 (k 2 )W N n k  22 F2 ( n2 )  k 2 0 vµ t¹i c¸c vÞ trÝ n1 = n2 = n N 1 N 1 F1 ( n1 ).F1 ( n1 ) =  f 1 ( k1 )W N n1k1 .  f 2 ( k1 )W N n2 k 2 ...