Chương 9: Định lý ánh xạ co

Bây giờ chúng ta có đủ thông tin về số liệu không gian để xem xét một số ứng dụng thú vị. Chúng tôi đầu tiên sẽ chứng minh một kết quả được gọi là định lý lập ánh xạ co và sau đó sử dụng nó để tìm giải pháp cho các hệ thống phương trình tuyến tính và phương trình tích phân xác định. Kể từ khi chương này chứa chủ yếu là ví dụ, chúng ta sẽ làm cho việc sử dụng tự do của tính toán từ đầu tính toán. Mặc dù nó có lẽ sẽ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 9: Định lý ánh xạ co CHƯƠNG 19 Bây giờ chúng ta có đủ thông tin về số liệu không gian để xem xét một số ứng dụng thú vị.Chúng tôi đầu tiên sẽ chứng minh một kết quả được gọi là định lý lập ánh xạ co và sau đó sửdụng nó để tìm giải pháp cho các hệ thống phương trình tuyến tính và phương trình tích phânxác định. Kể từ khi chương này chứa chủ yếu là ví dụ, chúng ta sẽ làm cho việc sử dụng tự docủa tính toán từ đầu tính toán. Mặc dù nó có lẽ sẽ là hợp lý để trì hoãn các vấn đề này cho đếnkhi chúng ta đã phát triển các sự kiện cần thiết liên quan đến tích phân, các đạo hàm và lũythừa, tuy nhiên nhiều điều để nói cho trình bày một số ứng dụng không tầm thường tương đốisớm. 19.1. ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO 19.1.1. Định nghĩa. Một ánh xạ f: M → N giữa không gian metric là co nếu có tồn tại một điểm c liên tục mà0 19.1.5.Định lý (Ánh xạ co). Mỗi ánh xạ co từ một không gian metric đầy đủ vào chính nó cómột điểm duy nhất cố định. Chứng minh. Gợi ý. M là một không gian metric đầy đủ và f:M M là co.Bắt đầu với một x0 điểm tùy ý trong M. Có được một chuỗi ( xn ) trong M bằng cách chox1 = f ( x0 ), x2 = f ( x1 ),... Cho thấy trình tự này là Cauchy. (Đáp án Q.19.3.) 19.1.6. Ví dụ. Chúng ta sử dụng định lý Ánh xạ co để giải quyết các hệ phương trình sau đây: (19.1) Xác định S : R2 R 2 : ( x, y ) a (9 x − 2 y,3 x + 8 y ) . Hệ phương trình (19.1) có thể được viết như là một phương trình duy nhất S(x, y) = (7, 11)hoặc tương đương như: (x, y) - S (x, y) + (7, 11) = (x, y). (19,2) Định nghĩa. Cộng và trừ vào R2 được định nghĩa coordinatewise. Đó là, nếu (x, y) và (u, v)là điểm , sau đó (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) và (x, y) - (u, v) = (x - u, y - v ). Tương tự địnhnghĩa tập bị chặn cho với n> 2]. Đặt T (x, y) là ở phía bên tay trái (19,2). Ta được: T: → : (x, y) → (x, y) - S (x, y) + (7, 11). Với ký hiệu này (19,2) trở thành: T (x, y) = (x, y). Như vậy, và đây là điểm rất quan trọng, để giải quyết (19.1), chúng ta chỉ cần tìm thấy mộtđiểm cố định của ánh xạ T. Nếu T là co, thì định lý trước đó đảm bảo T có một điểm duy nhấtcố định và do đó hệ phương trình (19.1) có một phương pháp giải duy nhất. Thật tiếc, những quan điểm đó, T không phải là co đối với các không gian metric tích trên. (Cho thuận tiện mà chúng ta sử dụng không gian metric tích trên hơn là Euclide thôngthường căn bậc hai quả là một mối phiền toái.) Thấy rằng T không phải là co chú ý rằng((1, 0), (0, 0)) = 1 trong khi (T (1, 0), T (0, 0)) = ((-1, 8), (7, 11)) = 11. Tất cả là không bịmất băng bât cứ cach nao. Một biện pháp khắc phục đơn giản là chia tất cả mọi thứ trong ̀ ́ ́ ̀(19.1) bởi c lớn tùy ý. Một thử nghiệm nhỏ cho thấy rằng c = 10. Thay vì làm việc với hệ(19.1), hãy xem xét hệ: (19.3) mà rõ ràng là có các phương pháp tương tự như (19.1). Xác định lại S và T ở dạng cụ thể:Đặt S: → : (x, y) → (0.9x - 0.2y, 0.3x + 0.8y) và T: → : (x, y) → (x, y) - S (x, y) + (0.7, 1.1). Vì vậy định nghĩa lại, T co đối với khônggian metric tích. Chứng minh: Từ T (x, y) = (0.1x + 0.2y + 0,7-0.3x + 0.2y + 1,1) (19,4) Với (x, y) , chúng ta thấy rằng d(T (x, y) ,T (u, v)) = (|(x + 2y) - (u + 2v) | + | (-3x + 2y) - (-3u + 2v) |) ≤ (| x - u | + 2 | y - v | + 3 | x - u | + 2 | y - v |) = 0.4 (| x - u | + | y - v |) = 0.4 ((x, y), (u, v)) (19,5) Với tất cả các điểm (x, y) và (u, v) thuộc . Bây giờ từ T là co và là đầy đủ (đối với không gian metric tích xem 18.2.9), các định lýánh xạ co (19.1.5) cho chúng ta biết rằng T có một điểm duy nhất cố định. Nhưng một điểm cốđịnh của T là một giải pháp cho hệ (19,3) và cho (19.1). Bài toán được sử dụng trong các chứng minh của 19.1.5 cho phép chúng tôi tính gần đúngđiểm cố định của T để mong muốn bất kỳ mức độ chính xác. Trong chứng minh đó chọn làbất kỳ điểm nào bất cứ điều gì trong R2. Sau đó, các điểm ,. . . ( = T( -1) cho mỗin) hội tụ về các điểm cố định của T. Đây là một kỹ thuật đẻ tính xấp xỉ liên tiếp. Đối với vídụ này cho = (0, 0). (Gốc được chọn cho thuận tiện.) Bây giờ sử dụng (19,4) và tính toán. = (0, 0) = T(0, 0) = (0.7, 1.1) = T(x1) = (1.021, 1.025) = T(x2) = (1.0071, 0.9987) ………….. Nó là cơ sở phỏng đoán rằng hệ (19.1) có một giải pháp bao gồm các con số hợp lý và sauđó đoán rằng các điểm . như tính toán ở trên đang hội tụ để các điểm (1, 1) trong . Trong (19,4), Đặt x = 1 và y = 1 chúng ta thấy rằng các điểm (1, 1) thực sự là điểm cố địnhcủa T và do đó giải quyết được (19.1).Trong ví dụ trên, chúng tôi phát hiện ra một giải pháp chính xác một hệ phương trình. Nóichung, tất nhiên, chúng ta không thể hy vọng rằng một kỹ thuật xấp xỉ kế tiếp sẽ mang lại câutrả lời chính xác. Trong những trường hợp không chính xác, nó là quan trọng nhất để có một sốý tưởng làm thế nào chính xác với xấp xỉ của chúng tôi. Sau khi lặp đi lặp lại n lần, làm thế nàolấy kết quả gần đúng với các giải pháp thực sự? Bao nhiêu lần lặp lại phép toán để đạt đượcmột mức độ mong muốn chính xác? Câu trả lời cho những câu hỏi trong một hệ quả dễ dàngchứng minh định lý 19.1.5. 19.1.7.Hệ quả. Cho không gian M, ánh xạ f, dãy ( ), c: hằng số, và điểm p như trong định lý 19.1.5 vàchứng minh của nó. Khi đó với mỗi m ≥ 0 Chứng minh: bất dẳng thức (Q.11) trong các chứng minh của 19.1.5 nói rằng m < n Giới hạn đi từ . 19.1.8. Định nghĩa. Ký hiệu như trong những hệ quả trước. Nếu chúng ta nghĩ các điểm ...