Chuyên đề Ứng dụng đồng dư thức trong giải toán số học - Toán lớp 6

Chuyên đề Ứng dụng đồng dư thức trong giải toán số học - Toán lớp 6 nhằm củng cố kiến thức của các em học sinh thông qua giải các bài tập vận dụng về Ứng dụng đồng dư thức, Tìm một chữ số tận cùng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung chi tiết các bài tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Ứng dụng đồng dư thức trong giải toán số học - Toán lớp 6 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 CHUYÊN ĐỀ. ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌCA. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Định nghĩaCho a, b là các số nguyên và n là số nguyên dương. Ta định nghĩa a đồng dư với b theo môđunn và kí hiệu là: a  b  mod n  , nếu a và b có cùng số dư khi chia cho n .Chú ý : a) a  b(mod m) là một đồng dư thức với a là vế trái, b là vế phải.b) a  b(mod m)  a – b  m  t  Z sao cho a = b + mt.c) Nếu a và b không đồng dư với nhau theo môđun m ta ký hiệu :a  b (mod m).d) Nếu a chia cho b dư r thì a  r  mod b 2. Tính chất1. Tính chất phản xạ : a  a (mod m).2. Tính chất đối xứng : a  b (mod m)  b  a (mod m).3. Tính chất bắc cầu :a  b (mod m); b  c (mod m)  a  c (mod m).4. Cộng hay trừ từng vế của đồng dư thức có cùng môđun :a  b (mod m) ; c  d (mod m)  a  c  b  d (mod m)Tổng quát : ai  bi (mod m), i = 1; 2; ...; k  a1  a2  ...  ak  b1  b2  ...  bk (mod m).5. a) Nhân hai vế của đồng dư thức với một số nguyên :a  b (mod m)  ka  kb (mod m) với k  Zb) Nhân hai vế và môđun của đồng dư thức với một số nguyên dương:a  b (mod m)  ka  kb (mod km) với k  N*6. Nhân từng vế của nhiều đồng dư thức có cùng môđun :a  b (mod m) ; c  d (mod m)  ac  bd (mod m)Tổng quát ai  bi (mod m), i = 1; 2; ...; k  a1 a2 ...a k  b1b2 ...bk (mod m).7. Nâng hai vế của một đồng dư thức lên cùng một lũy thừa :a  b (mod m)  ak  bk (mod m) (k  N*)8. Nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo môđun làBCNN của các môđun ấy:1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆNa  b (mod mi ), i = 1; 2; ...; k  a  b (mod  m1 ; m2 ;...; mk  ).Đặc biệt nếu  mi , m j   1 (i, j = 1; 2;...; k) thìa  b (mod mi )  a  b (mod m1 .m2 ....mk ).9. Nếu a  b (mod m) thì tập hợp các ước chung của a và m bằng tập hợp các ước chung của b vàm.Đặc biệt : a  b (mod m)  (a, m) = (b, m)10. Chia hai vế và môđun của một đồng dư cho một ước dương chung của chúng : a b ma  b (mod m) , k  UC(a,b,m), k > 0    mod  k k k  m Đặc biệt : ac  bc (mod m)  a  b  mod   (c, m) B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng đồng dư thức trong các bài toán chứng minh chia hết* Cơ sở phương pháp: Khi số dư trong phép chia a cho m bằng 0 thì a  m. Như vậy để chứng tỏa  m ta chứng minh a  0 (mod m)* Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Chứng minh rằng: 22225555  55552222  7 Hướng dẫn giải 5555Ta có: 2222  3  mod 7  hay 2222  4  mod 7   22225555   4   mod 7  (*)Mặt khác 5555  4  mod 7   55552222  42222  mod 7  (**)Từ (*) và (**) 5555  22225555  5555222    4   4 2222   mod 7     22225555  5555222   4 2222  43333  1  mod 7  1111  Ta lại có: 43333  43  641111 mà 64  1 mod 7   43333  1 mod 7  43333  1  0  mod 7   42222  43333  1  0  mod 7    Do vậy 22225555  55552222  0  mod 7  hay 22225555  55552222  7  2 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 Bài toán 2. Chứng minh rằng: A  7.52 n  12.6 n 19Hướng dẫn giảiTa có: n52 n   52   25n  A  7.25n  12.6n n25  6  mod19   25n  6n  mod19   A  7.6 n  12.6  mod19   A  19.6n  mod19  A  0  mod19   A19Bài toán 3. Chứng minh rằng 122n+1 + 11n+2  133 ( n  N)Hướng dẫn giảiCách 1:Ta có 122 = 144  11(mod 133) ; 112 = 121  –12(mod 133) nDo đó 122n+1 = 12. 12 2   12. 11n (mod 133)11n+2 = 112. 11n  –12. 11 n (mod 133)Do đó 122n+1 + 11 n+2  12. 11n – 12. 11 n  0 (mod 133).Vậy với n  N thì 122n+1 + 11n+2  133 .Cách 2: Ta có 122 = 144  11(mod 133)  122n  11n (mod 133) (1)Mà 12  – 112 (mod 133) (2) Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có :122n. 12  11n. (– 112) (mod 133)  122n+1  –11n+2 (mod 133)122n+1 + 11n+2  0 (mod 133) hay 122n+1 + 11n+2  133.  2n Bài toán ...