Đại số Boolean và cổng luận lý

Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 2 Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean (Boolean algebra) George Boole giới thiệu vào năm 1854 Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau: Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element) mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được công nhận không qua chứng minh Tập các hệ quả...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số Boolean và cổng luận lý Đại số Boolean và cổng luận lý Bộ môn Kỹ thuật máy tính Bùi Văn Hiếu bvhieu@cse.hcmut.edu.vn Đại số Boolean Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean (Boolean algebra) George Boole giới thiệu vào năm 1854 Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau: Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element) mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được công nhận không qua chứng minh Tập các hệ quả (set of consequences) được suy ra từ định đề, định lý (theorem), định luật (law) hay luật(rule) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 2 Định đề Huntington 1. Tính đóng (closure): tồn tại miền B với ít nhất 2 phần tử phân biệt và 2 phép toán (+) và (•) sao cho: Nếu x và y là các phần tử thuộc B thì (x + y), (x•y) cũng là 1 phần tử thuộc B Phép toán (+) được gọi là phép cộng luận lý (logical addition) Phép toán (• ) được gọi là phép nhân luận lý (logical multiplication) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 3 Định đề Huntington (tt) 2. Phần tử đồng nhất (identity elements) Nếu x là một phần tử thuộc miền B thì Tồn tại một phần tử 0 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (+ ), thỏa mãn tính chất x+0= x Tồn tại một phần tử 1 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (•), thỏa mãn tính chất x•1= x Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 4 Định đề Huntington (tt) 3. Tính giao hoán (commutative law) x+y=y+x x• y=y•x 4. Tính phân phối (distributive law) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) x + (y • z) = (x + y) • (x + z) 5. Bù (complementation) Nếu x là 1 phần tử trong miền B, tồn tại một phần tử khác gọi là x’, là phần tử bù của x thỏa mãn: x + x’ = 1 và x • x’ = 0 Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 5 Tính đối ngẫu (duality) Quan sát các định đề Hungtinton, ta thấy chúng mang tính đối xứng (symmetry) tức là các định đề xuất hiện theo cặp Mỗi định đề trong 1 cặp có thể được xây dựng từ định đề còn lại bằng cách Hoán đổi các phép toán 2 ngôi Hoán đổi các phần tử đồng nhất Như vậy đại số Boolean mang tính đối ngẫu Phép toán (+) và (•) đối ngẫu Phần tử đồng nhất 0 và 1 đối ngẫu Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 6 Các định lý cơ bản (fundamental theorems) Các định lý được chứng minh từ các định đề Huntington và các định đề đối ngẫu theo 2 phương pháp Phương pháp phản chứng (contradiction) Giả sử kết quả đối ngược là đúng Chứng minh mâu thuẫn với sự thật Phương pháp quy nạp (induction) Chứng minh định luật đúng với trường hợp k = 1 Giả sử định luật đúng vơí trương hợp k = n Chứng minh định luật đúng với k = n +1 Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 7 Các định lý cơ bản (tt) Định lý 1. (Null Law) x+1=1 x• 0=0 Định lý 2. (Involution) (x’ )’ = x Định lý 3. (Idempotency) x+x =x x• x =x Định lý 4. (Absorption) x + (x • y) = x x • (x + y) = x Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 8 Các định lý cơ bản (tt) Định lý 5. (Simplification) x + x’• y = x + y và x• (x’ + y) = x•y Định lý 6. (Associative Law) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x • (y • z) = (x • y) • z = x • y • z Định lý 7. (Consensus) (x • y) + (x’ • z) + (y • z) = (x • y) + (x’ • z) (x + y) • (x’ + z) • (y + z) = (x + y) • (x’ + z) Định lý 8. (De Morgan’s Law) (x + y)’ = x’ • y’ (x • y)’ = x’ + y’ Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 9 Đại số chuyển mạch (switching algebra) Đối với đại số Boolean, miền không bị giới hạn (không giới hạn số lượng phần tử trong miền) Ta chỉ khảo sát đại số Boolean giới hạn 2 phần tử Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 10 Đại số chuyển mạch (tt) Năm 1937, Claude Shannon hiện thực đại số Boolean 2 phần tử bằng mạch các chuyển mạch (circuit of switches) Chuyển mạch là thiết bị có 2 vị trí: tắt (off) hay mở (on) 2 vị trí này biểu diễn cho 0 h ...