Đại số tuyến tính - Bài tập chương II

"Đại số tuyến tính - Bài tập chương II" cung cấp một số mẫu bài tập về nội dung: Tính toán trên ma trận, định thức, hạng ma trận - ma trận khả nghịch. Mời các bạn tham khảo và thử sức với các bài tập của tài liệu này nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số tuyến tính - Bài tập chương IIĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHBÀI TẬP CHƯƠNG II.TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN ⎡2 0 1⎤ ⎡1 0 1 −1⎤ 1. Cho các ma trận A = ⎢ 0 1 2 ⎥ và B = ⎢ −1 1 2 0 ⎥. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ −1 ⎣ 1 3 1⎥⎦ a. Tính các ma trận AB, B t A, Bt ( A − At ) . b. Tính f ( A) với f ( x) = x 2 − x + 2 . ⎡cos α − sin α ⎤ 2. Cho Aα = ⎢ . ⎣ sin α cos α ⎥ ⎦ a. Chứng minh Aα Aβ = Aα + β , ( Aα ) n = Anα . 2005 n ⎡ 3 1 ⎤ ⎡ 1 1⎤ b. Tính ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ −1 3⎥⎦ ⎣ −1 1⎦ 3. Tìm ma trận X ∈ M 2 ( ) sao cho AX = XA với: ⎡1 1⎤ ⎡1 2⎤ a. A = ⎢ ⎥ b. A = ⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦ ⎣ −1 −1⎦ ⎡ −1 0 ⎤ 4. Tìm ma trận X ∈ M 2 ( ) sao cho X 2 − 2 X = ⎢ . ⎣6 3⎥⎦ ⎡a b ⎤ 5. Cho ma trận A = ⎢ ⎥. ⎣c d ⎦ a. Chứng minh A là nghiệm của f ( x) = x 2 − ( a + d ) x + ad − bc . b. Chứng minh nếu ∃k ∈ Ak = 0 thì A2 = 0 6. Giả sử ma trận A ∈ M n ( ) thỏa ∀X ∈ M n ( ) ( X A) 2 = 0 . Chứng minh A = 0 . 7. Cho hai ma trận A, B ∈ M n ( ) sao cho AB = BA . Chứng minh : a. A2 − B 2 = ( A − B )( A + B ) b. ( A + B )2 = A2 + 2 AB + B 2 8. Tính: n n n ⎡0 1 0⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ a. ⎢ ⎥ b. ⎢ ⎥ c. ⎢0 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 1⎦ ⎣ −1 3⎦ ⎢0 0 0⎥ ⎣ ⎦ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHĐỊNH THỨC 9. Tính các định thức: 2 1 13547 13647 a. , −3 1 28423 28523 0 1 −2 246 427 327 1 i 1+ i b. 2 −2 0 , 1014 543 443 , −i 1 0 −1 0 3 −342 721 621 1 − i 0 1 3 0 1 1 1 2 3 4 1 3 0 1 −2 1 −4 3 c. , 1 1 3 0 3 −4 −1 2 0 1 1 3 4 3 −2 −1 1 ε2 ε 1 1 1 d. ε 1 ε 2 , 1 ε ε 2 với ε là căn bậc 3 khác 1 của đơn vị. ε2 ε 1 1 ε2 ε 10. Không khai triển định thức, hãy tìm hệ số của x 4 và x 2 trong đa thức 2x x 1 2 1 x 1 −1 f ( x) = . 3 2 x 1 1 1 1 x 11. Biết 1020 là bội của 17. Không khai triển định thức, hãy chứng minh 0 2 0 1 4 5 0 1 là bội của 17. 5 5 2 0 4 4 5 0 12. Chứng minh: a1 + b1 b1 + c1 c1 + a1 a1 b1 c1 a. a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 = 2 a2 b2 c2 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 a3 b3 c3ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH a2 (a + 1) 2 (a + 2)2 (a + 3)2 b2 (b + 1) 2 (b + 2) 2 (b + 3) 2 b. =0 2 2 2 2 c (c + 1) (c + 2) (c + 3) d2 (d + 1)2 (d + 2) 2 (d + 3) 2 13. Tính định thức cấp tổng quát: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 a. 2 2 2 n −1 2 2 2 2 2 n 1 2 3 n −1 n 1 3 3 n −1 n 1 2 5 n −1 n b. 1 2 3 2n − 3 n ...