Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp Quốc gia môn Toán năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Gửi đến các bạn học sinh Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp Quốc gia môn Toán năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Giang được Thuvienso.net chia sẻ dưới đây nhằm giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì thi. Cùng tham khảo giải đề thi để ôn tập kiến thức và làm quen với cấu trúc đề thi các em nhé, chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp Quốc gia môn Toán năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Giang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN BẮC GIANG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Ngày thi: 22/09/2020Câu 1. (4 điểm)Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0  a  b  c và a  b  c  ab  bc  ca . Chứng minh rằng bc (a  1)  2.Câu 2. (4 điểm)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  , đường cao AD, trực tâm H. Đường tròn đường kính AH cắtO  tại điểm Q khác A. Đường tròn đường kính HQ cắt  O  tại điểm K khác Q. Gọi M là trung điểm BC.a) Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt BC tại X. Chứng minh rằng XK tiếp xúc với đường tròn ngoạitiếp tam giác KDM.b) Đường thẳng KQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM tại N khác K. Chứng minh rằng MN chia đôi AQ.Câu 3. (4 điểm)Cho số thực a và dãy số  un n1 xác định bởi u1  a , un 1  un2  un  a 3 (n  1) .  1 a) Chứng minh rằng, với dãy a    ;0  , dãy số hội tụ và tìm giới hạn đó.  2 b) Cho a  2020 . Chứng minh rằng un2  20203 luôn có ít nhất n  4 ước số nguyên tố khác nhau.Câu 4. (4 điểm)a) Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho 2k  1 và 4k  1 đều là các số chính phương.b) Với mỗi số tự nhiên k thỏa mãn đề bài, chứng minh rằng 35∣ k 2  12k  .Câu 5. (4 điểm)Sắp đến ngày Tết Trung thu, tổ chức Smile Foundation của trường THPT chuyên Bắc Giang làm bánh gâyquỹ từ thiện thường niên. Sản phẩm năm nay là một cặp bánh dẻo, bánh nướng có tổng giá cặp bánh đó là50000 đồng. Do số lượng có hạn nên mỗi bạn chỉ được mua đúng một cặp. Để mua bánh các bạn học sinhtrường chuyên phải xếp hàng. Biết rằng trong hàng có m  n bạn, trong đó m bạn cầm tờ 50000 đồng và n bạncầm tờ 100000 đồng  m, n  * , m  n  . Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để không bạn nào phải chờ tiền trảlại, giả thiết rằng ban đầu ban tổ chức không cầm theo đồng tiền nào. -------------------- HẾT -------------------- https://toanmath.com/ Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .