Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Thái Bình

Sau đây là Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Thái Bình giúp các bạn học sinh tự đối chiếu, đánh giá sau khi thử sức mình với đề thi học sinh giỏi này nhé.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Thái BìnhSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÁI BÌNHĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Môn: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1. (4,0 điểm)2x −1có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổngx +1khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.1) Cho hàm số: y =2) Cho hàm số: y = 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 có đồ thị là ( Cm ) ( m là tham số). Tìmtất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ6.x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =222Câu 2. (4,0 điểm)1) Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N * ,n ≥ 2 ). Gọi S là tập hợpcác tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S,1biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là. Tìm n.132) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình:3 − cos2 x + sin2 x − 5sinx − cosx=02cos x + 3x2Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để=hàm số y log 2018  2017 x − x − − m  xác định2với mọi x thuộc [ 0;+∞ ) .Câu 4. (6,0 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, ABC = 600 ,SA= SB= SC , SD = 2a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K.1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích V1 ;V2 trong đó V1 làVthể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 .V23) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầungoại tiếp khối chóp K.ACMN.Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x3 − y 3 − 3 ( 2 x 2 − y 2 + 2 y ) + 15 x − 10 =00 x 2 + y − 5 + 3 y − 3 x 2 − 6 y + 13 =Câu 6. (2,0 điểm)Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P = (1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 )(1 + c 2 + d 2 + c 2 d 2 ) HẾT Họ và tên thí sinh:............................................................... SBD:...................KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018----------------------------------------------------------------------------------------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÁI BÌNH------------------HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂMMÔN TOÁN(Gồm 05 trang)ĐÁP ÁNCÂUCâu 1.(4 điểm)1.(2 điểm)ĐIỂM2x −1có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao chox +1tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.Cho hàm số: y =Ta có:=lim y 2;=lim y 2 nên y=2 là đường tiệm cận ngangx →+∞0,5x →−∞lim y = −∞; lim− y = +∞ nên x=-1 là đường tiệm cận đứngx →−1+x →−1 2x −1 Giả sử điểm M  x0 ; 0  ∈ ( C ) ; x0 ≠ −1x0 + 1 3d( M ,TCD=x0 + 1 ; d( M ,TCN ) =)x0 + 1Suy ra: d( M ,TCD ) + d( M ,TCN ) = x0 + 1 +0,53≥2 3x0 + 10,5 x=3 − 1( tm )0Dấu bằng xảy ra khi .Các điểm M cần tìm: x0 =− 3 − 1( tm )2.(2 điểm)(()M =3 − 1; 2 − 3 M =− 3 − 1; 2 + 3)0,5Cho hàm số: y = 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 có đồ thị là ( Cm ) ( m là thamsố). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =6.222Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 =0 (1)⇔ ( x − 3) ( 2 x − mx − m220)=x = 3⇔ x =m−mx =2Để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3m ≠ 3nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0m ≠ −6 m = 0 ( loai )Khi đó: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =6 ⇔  m = 4 ( tm )54Vậy m =522210,50,51,0CÂUCâu 2.(4 điểm)1.(2 điểm)ĐÁP ÁNĐIỂMCho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N ,n ≥ 2 ). Gọi S là tậphợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác1thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là. Tìm n.133Số phần tử của tập hợp S là: C2n*3Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C2nGọi A là biến cố: “ Chọn được tam giác vuông”Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O.Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm Ovà một đỉnh trong 2n-2 đỉnh còn lại .⇒ Số tam giác vuông được tạo thành: Cn1 .C21n − 2Theo bài ra ta có: P ( A ) =2.(2 điểm)Cn1 .C21n − 2 1=⇔ n = 20C23n130,51,00,5Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình:3 − cos2x+sin2x-5sinx-cosx=02cosx+ 3− 323-cos2x+sin2x-5sinx-cosx=00,25Điều kiện: cosx ≠⇔ 2sin 2 x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx =0Câu 3.(2 điểm) 2sin x − 1 =0⇔ ( 2sin x − 1)( s inx+cosx-2 ) =0⇔s inx+cosx-2=0sin x + cos x − 2 =0 (phương trình vô nghiệm)π x = 6 + k 2π2sin x − 1 = 0 ⇔ (k ∈ Z ) x = 5π + k 2π6πĐối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là: x = + k 2π, k ∈ Z6πx ∈ [ 0;100π] ⇒ 0 ≤ + k 2π ≤ 100π ⇒ 0 ≤ k ≤ 49, k ∈ Z6Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:π π ππ π π 50 7375+  + 2π  +  + 4π  + ... +  + 98π  =  + + 98π  . =π6 63 66 6 6 2Hàm số xác định với mọi x thuộc [0;+∞) khi và chỉ khix2x22017 x − x − − m > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ 2017 x − x − > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ )(*)220,50,250,50,50,5x2trên [ 0; +∞ ) . Hàm số liên tục trên [ 0; +∞ )2=f ( x) 2017 x.ln 2017 − 1 − x và liên tục trên [0;+∞)Xét hàm số: f =( x) 2017 x − x −=f ( x) 2017 x. ( ln 2017 ) − 1 > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ )2⇒ f ( x ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f= ( 0 ) ln 2017 − 1 > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ )⇒ f ( x) là hàm số đồng biến trên [ 0; +∞ ) ⇒ min f ( x ) =11,0Bất phương trình (*) ⇔ f ( x ) > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ min f ( x ) > m ⇔ m ...