Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán

Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán Đ THI CH N H C SINH GI I C P TRƯ NG NĂM H C 2009 - 2010 Huỳnh Kim Linh Sưu t m và gi i thi u ——————Bài 1 : √Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch ng minh r ng : abc + (1 − a) (1 − b) (1 − c) < 1.Bài 2 :Cho các s th c x, y, z khác không. Tìm t t c giá tr c a : |x+y| |y+z| |z+x| f (x, y, z) = |x|+|y| + |y|+|z| + |z|+|x| .Bài 3 :Cho n là s t nhiên l và t p các s th c X = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } .Tìm t t c các song ánh f (hàm 1-1) trên t p X, f : X → Xsao cho : |f (x1 ) − x1 | = |f (x2 ) − x2 | = · · · = |f (xn ) − xn | .Bài 4 :Cho 7 s th c thu c kho ng (1; 13). Ch ng minh r ng có ít nh t ba s trong đó là đ dài 3 c nh c a1 tam giác.Bài 5 :Cho a, b, c > 0. Gi i h phương trình :   ax − by + 1 = c    xy 1  bz − cx + zx =a    cy − az + 1 = b. yzBài 6 :Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 1 và bên trong hình vuông cho n đi m phân bi t. Ch ng minhr ng t n t i m t tam giác có đ nh t i các đi m đã cho ho c là đ nh c a hình vuông sao cho di n tíchS c a nó th a mãn b t đ ng th c : 1 S≤ 2(n+1) . ——— H T ———SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGTRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG NĂM HỌC 2009 – 2010 ------------------------------------------ MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Câu 1. (5.0 điểm) 2 log 2 ( x 2 4 x 5) 1 2 y 4y 4 a) Giải hệ phương trình: 2 log 2 ( y 2 4 y 5) 1 2 x 4x 4 b) Giải phương trình: 1 1 x2 (1 x)3 (1 x)3 2 1 x2 Câu 2. (4.0 điểm) x0 m m 0 Cho dãy số xn được xác định bởi x n 1 2 20102 . 2 xn ,n ,n 1 xn 1 Tìm lim xn n Câu 3. (3.0 điểm) Giả sử a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng a3 b3 c3 1 a3 (b c)3 b3 (c a ) 3 c3 ( a b)3 Câu 4. (3.0 điểm) Cho f ( x) là hàm số đồng biến và là hàm số lẻ trên . Giả sử a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a b c 0 . Chứng minh rằng f (a ) f (b) f (b) f (c) f (c) f (a ) 0 . Câu 5. (6.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2 ( y 1)2 1 Chứng minh rằng với mỗi điểm M (m;3) trên đường thẳng y = 3 ta luôn tìm được hai điểm T1, T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1 , MT2 là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2. 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh a, người ta đặt vào đó 5 điểm bất kì. Chứng minh a rằng luôn tồn tại một cặp điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng . 2 ------------------------------HẾT------------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài Đáp án Điểm 2 2 Đặt u x 4 x 4, v=y 4 y 4 (u,v 0) log 2 (u ...