Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh SỞ GD-ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGTRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 NĂM HỌC 2023-2024 ————————————– Môn: Toán 11 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút ————————————– Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = −3n + 1, ∀n ∈ N∗ . a) Chứng minh rằng (un ) là một cấp số cộng. b) Với mỗi số nguyên dương n ta đặt vn = 2024un . Chứng minh rằng dãy số (vn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó. Câu 2 (4,0 điểm). π √ a) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 3x − = 2 − 1. 7 b) Biết rằng phương trình a. sin x + b. cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 . Vận dụng tính chất đó, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 − sin x + 2 cos x y= . 3 + sin x − cos x Câu 3 (4,0 điểm). a) Tìm m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1   1 3  − 3 khi x > 1, x−1 x −1  f (x) =   2  x +m khi x ≤ 1. √ √ 1 + 16x. 3 1 − 27x − 1 b) Tính giới hạn lim . x→0 x Câu 4 (2,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số mà hai chữ số kề nhau luôn khác nhau. Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P ) : y = x2 − 2x và đường tròn (T ) : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. Tính diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là các điểm chung của (P ) và (T ). Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC , G là trọng tâm tam giác ABC , K là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AGM ). a) Chứng minh đường thẳng OM song song với mặt phẳng (SAD). b) Mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng M G và song song với đường thẳng SB . Hãy xác định giao điểm Q của đường thẳng BC với mặt phẳng (P ). KS c) Tính tỉ số . KD HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SỞ GD-ĐT BẮC NINH THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGTRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 NĂM HỌC 2023-2024 ————————————– Môn: Toán 11 Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút ————————————– ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm 1 ∗ 1,0 (4,0) a) Ta có un = −3n + 1, un+1 = −3n − 2, ∀n ∈ N ⇒ un+1 −un = −3, ∀n ∈ N∗ . Vậy (un ) là một cấp số cộng với công sai d = −3. 1,0 n n+1 1 1 b) Nhận thấy vn = 2024. 3 , vn+1 = 2024. , ∀n ∈ N∗ . 2024 20243 vn+1 1 1,0 Do đó = ∈ (−1; 1), ∀n ∈ N∗ . vn 20243 1 1 Vậy (vn ) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 3 , v1 = . 2024 20242 v 2024 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn ) là S = 1 = . 1,0 1−q 20243 − 1 2 π √ π π 5π kπ (4,0) a) tan 3x − 7 = 2 − 1 ⇔ tan 3x − 7 = tan 8 ⇔ x = 56 + 3 , k ∈ Z. 1,0 5π kπ 15 Ta có + < 0 ⇔ k < − . Mà k ∈ Z nên k = −1, −2, −3, −4, .... Vậy 56 3 56 1,0 41π nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho (ứng với k = −1) là x = − . 168 b) Phương trình sin x − cos x = −3 vô nghiệm vì 12 + (−1)2 < (−3)2 . Dẫn tới 3 + sin x − cos x ̸= 0, ∀x ∈ R. Hàm số đã cho có tập xác định là R. Ta có 1,0 1 − sin x + 2 cos x y= ⇔ (−y − 1) sin x + ...