Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài tập, mời các bạn cùng tham khảo ‘Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương’ dưới đây. Hy vọng sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài: 180 phút Môn: ToánCâu 1. (2 điểm) un  3Cho dãy số  un n1 xác định bởi u1  0, un 1   n  1 . 5  una) Chứng minh rằng dãy  un n1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. n 1 Tnb) Đặt Tn   . Tìm lim . k 1 uk  3 n  5n  4Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡  ¡ sao cho: f  y  f  x    f  x 2018  y   2017 yf ( x ), x, y  ¡ .Câu 3. (2 điểm)Có bao nhiêu cách lát kín bảng 2  2022 bởi các viên domino 1 2 và 2  1 ?Câu 4. (2 điểm)Cho tam giác nhọn ABC với AB  BC . Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABC và  là đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K . Đườngthẳng AK cắt  tại điểm thứ hai T . Cho M là trung điểm của BC và N là điểm chính giữa cung » chứa A của  . Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở P . Chứng minh rằng BCa) Cho KI cắt ( BIC ) tại điểm thứ hai X thì N ; T ; X thẳng hàng.b) PM ‖ AK .Câu 5. (2 điểm)Cho dãy số xn1   a.xn  n ¥ ; xo  ¥ * ; a là nghiệm dương của phương trình x2  kx 1  0 (k  ¥ ; k  1 ) với số nguyên dương k cho trước.Khi đó chứng minh rằng xn 1  xn 1  1 (mod k ) . GiảiCâu 1 :a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n  ¥ , dãy  un  * bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng. n 1 x3+) Ta có u1  1. Giả sử un  1 n  ¥ . Vì hàm f  x   * là đồng biến trên khoảng 5 x( ;1) nên un  1 un1  f un   f 1  1.Vậy un  1 với mọi n  ¥ . * 3+) Ta có u2   u1 . Giả sử un  un1  n  2  . Do un , un 1  1 và f là đồng biến trên khoảng 5( ;1) nên un1  f  un   f  un1   un . Vậy dãy  un  tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. n 1 a  3 a  1+) Đặt lim un  a  a  1 . Suy ra a   . n 5a  a  3Vậy lim un  1. n 4(uk 1  3) 1 1 2 b) Ta có uk  3      1  k  2  . 5  uk 1 uk  3 4  uk 1  3  1 n 1 1 1  n 1  Tn     2  n  1 u1  3 k 2 uk  3 3 4  k 2 uk 1  3  1 1 1 1    n   Tn  . 12 4 2 un  3  1 1 1 Tn 1Suy ra Tn   n  lim  . 6 2 un  3 n 5n  4 10Câu 2 :Giả sử hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu bài toán.+)Trong (1) thay y bởi f ( x) ta có : f  0   f  x 2018  f ( x)   2017( f ( x)) 2 , x  ¡ (2). 2018+)Trong (1) thay y bởi x ta có : f  x 2018  f ( x)   f  0   2017 x 2018 f ( x), x  ¡ (3).Từ (2) và (3) suy ra f  x  ( f ( x)  x )  0, x ¡ 2018 (4).Vậy nếu có x0 sao cho f ( x0 )  0 thì f ( x0 )   x0 2018 . Vậy f  0  0.Dễ thấy có hai hàm số f1 ( x)  0 và f 2 ( x)   x , x ¡ thỏa mãn (4). 2018+) Ta chứng minh nếu có hàm số f ( x) khác hai hàm số f1 ( x ) và f 2 ( x ) mà thỏa mãn cả (1) và(4) thì vô lý.Vì f ( x) khác f1 ( x ) nên x1  ¡ : f ( x1 )  0. Vậy f ( x1 )   x1 2018 .Vì f ( x) thỏa mãn (4) và khác f 2 ( x ) nên x2  ¡ : x2  0; f ( x2 )  0.+) Trong (1) cho x  0  f ( y )  f ( y ), y  ¡ .Không mất tổng quát, giả sử x2  0+)Trong (1) thay x bởi x 2 và y bởi (  x1 ) ta có : f ( x1 )  f ( x2 2018  x1 )  x12018  f ( x1 )  f ( x1 )  f ( x2 2018  x1 )  ( x2 2018  x1 ) 2018   x12018 .(vô lý).+) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết quả hàm số cần tìm là f ( x)  0, x  ¡ .Câu 3:Gọi a(n) là số cách lát.Ta xét hai trường hợp sau:+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch 2  1 thì bảng trên trở thành 2  (n 1) ; ta cóa(n  1) cách lát.+) Nếu 4 ô vuông 2  2 ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch 1 2 thì ta có a(n) cách lát.Như vậy a(n)  a(n 1)  a(n  2) với a(1)  1; a(2)  2 .Suy ra a(n)  Fn là số Fibonacci thứ n .Như vậy số cách lát là F2022Câu 4: ...