Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 THPT - Kèm đáp án

Tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT kèm đáp án dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 THPT - Kèm đáp ánS GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð THI CH N H C SINH GI I C P T NH B C GIANG NĂM H C 2009-2010 Môn thi: Toán-l p 12. ð CHÍNH TH C Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010. Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao ñ ). Câu I. (5,0 ñi m) Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham s ) (1) 1. Tìm m ñ hàm s (1) ñ t c c tr t i x1, x2 th a mãn x1 + 2x2 = 3. 2. Tìm m ñ ñư ng th ng y = 1 c t ñ th hàm s (1) t i ba ñi m phân bi t A(0;1), B, C sao cho các ti p tuy n c a ñ th hàm s (1) t i B và C vuông góc v i nhau. Câu II. (4,0 ñi m) x x − 8 y = x + y y  1. Gi i h phương trình:  (x, y ∈ R)  x − y = 5.  π 2. Gi i phương trình: sin 4 x + cos 4 x = 4 2 sin ( x + ) −1. (x ∈ R) 4 Câu III.(2,0 ñi m) Cho phương trình: log( x 2 + 10 x + m) = 2log(2 x + 1) (v i m là tham s ) (2) Tìm m ñ phương trình (2) có hai nghi m th c phân bi t. Câu IV. (2,0 ñi m) π 4 tan xdx Tính tích phân: ∫ cos x 0 1 + cos 2 x . Câu V. (4,0 ñi m) 1. Trong h t a ñ Oxy, cho ñi m A(3; 2), các ñư ng th ng ∆1: x + y – 3 = 0 và ñư ng th ng ∆2: x + y – 9 = 0. Tìm t a ñ ñi m B thu c ∆1 và ñi m C thu c ∆2 sao cho tam giác ABC vuông cân t i A. 2. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho hai ñi m A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và m t ph ng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm t a ñ ñi m M trên m t ph ng (P) sao cho MA2 + MB2 ñ t giá tr nh nh t. Câu VI. (2,0 ñi m) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i ñáy. Góc gi a m t ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD. Câu VII. (1,0 ñi m) Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 3. a3 b3 c3 3 Ch ng minh r ng: + 2 + 2 ≥ . b2 + 3 c + 3 a + 3 4 (Cán b coi thi không gi i thích gì thêm) H và tên thí sinh:……………………………………….SBD:…………………… http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Tham Kh o, ð thi , ðáp án 1S GIÁO D C VÀ ðÀO T O HƯ NG D N CH M BÀI THI B C GIANG ð THI CH N H C SINH GI I C P T NH NĂM H C 2009-2010 Môn thi: Toán, l p 12. ð CHÍNH TH C Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 (Hư ng d n có 4 trang) Chú ý: Dư i ñây ch là sơ lư c t ng bư c gi i và cách cho ñi m t ng ph n c a m i bài. Bài làm c a h c sinh yêu c u ph i chi ti t, l p lu n ch t ch . N u h c sinh gi i cách khác mà ñúng thì ch m ñi m t ng ph n tương ng. Câu Phương pháp - K t qu ði m 2 1. Ta có y’ = 3x + 6x + m 0,5 Ycbt tương ñương v i phương trình 3x2 + 6x + m = 0 có hai nghi m phân bi t x1, 0,5 x2 th a mãn x1 + 2x2 = 3. 9 - 3m > 0 I.1  x + x = -2 (2ñi m)  1 2  ⇔  m 0,5  x1.x2 = 3   x1 + 2 x2 = 3  Gi i h trên ta ñư c m = -105 0,5 2.+) Hoành ñ ñi m chung c a (C) và d là nghi m c a phương trình 0,5 x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 9 T ñó tìm ñư c m < và m ≠ 0 thì d c t (C) t i ba ñi m phân bi t A(0; 1), B, C. 0,5 4 +) B(x1; 1), C(x2; 1) v i x1; x2 là nghi m c a phương trình x2 + 3x + m = 0 . 0,5 H s góc c a ti p tuy n t i B là k1 = 3x12 + 6x1 + m I.2 và t i C là k2 = 3x22 + 6x2 + m (2ñi m) Ti p tuy n c a (C) t i B và C vuông góc v i nhau khi và ch khi 0,5 k1.k2 = -1 ⇔ 4m2 – 9m + 1 = 0 0,5  9 − 65 m = ( t/m)  8 ⇔ 0,5 ...