Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Con Cuông

Tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2015-2016 - Trường THPT Con Cuông" sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức môn học như: Tìm nghiệm phương trình, giải phương trình, xác định điểm trong tam giác, viết phương trình,... Mời các em tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Con CuôngCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD & ĐT NGHỆ ANĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10TRƯỜNG THPT CON CUÔNGNĂM HỌC 2015 – 2016ĐỀ CHÍNH THỨCMÔN: TOÁNThời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1. (5,0 điểm) Cho phương trình: m  2  x 2   2m  1 x  3m  3  0(1)a) Giải phương trình (1) khi m  3b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho 2m  1 x1   m  2  x22  m  2Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình:x x 1 x  1 . 2 x 2  3x  21Câu 3. (2,0 điểm) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a , b   ;2  và a  b  4 ab . Tìm giá trị4lớn nhất của biểu thức:2P   a  b  2 a  bCâu 4. (3,0 điểm) Cho sin   cos  6 ,    0;  . Tính giá trị biểu thức sau:2 4P  cos      2 1  sin cos   sin   cos  4Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC  3MB , I làđiểm thuộc đoạn AM sao cho AI  3IM . Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho bađiểm B , I , K thẳng hàng.Câu 6. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2;6  ,32đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D  2;-  . Viết phương trình cạnh BC .22Biết đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC có phương trình: x  y  x  2 y  30  0 .---- Hết ---Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨCCâuNội dung1.a) Giải phương trình (1) khi m  3Khi m  3 PT (1) có dạng: x 2  7 x  6  0Ta có: a  b  c  0PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  1 và x2  6b) Tìm giá trị m thỏa mãnĐiểm5,01,50,50,50,53,5m  2  0a  02   0  2m  1  4  m  2  3m  3   0Để PT(1) có 2 nghiệm  m  2m  2  10  3 6(*)10  3 62m  8 m  40 m  23  0442m  13m  3Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 và x1 x2 m2m222Theo bài ra:  2m  1 x1   m  2  x2  m  2   x1  x2  x1  x2  10,51,00,50,529 2 m  1  3m  3 1  17 m  9  m (Không thỏa mãn) m217 m2 Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.2. Giải phương trình:0,50,53,0ĐK: x  0x 1Trên ĐK đó PT  0,52 x  x  1  2 x  3 x  2 1Giải PT(1). Ta nhận thấy x  0 không là nghiệm của PT (1) nênPT (1) Đặt t xx11 1  2 x    3xx0,51; ĐK: t  2x0,5t  4 t  2Ta được PT: t  1  2t 2  7  t 2  2t  8  0  (Loại)1 4  x  4 x 1 0  x  2  3  x  7  4 3xVậy PT đã cho có ba nghiệm: x  1 và x  7  4 3Khi t  4 ta cóx3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcwww.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 8070,51,02,0Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 201722Ta có: P   a  b   2  a  b    a  b   3 a  b Đặt: t  a  b 0,51. Khi đó: P  f (t )  t 2  3t22Theo bài ra: a  b  4ab   a  b   a  b  1  t  1 (do a  b 1)2a , b   0; 2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  00,5ab1616 2a  b  4  0  a  b   t 477 16 Xét hàm số: f (t )  t 2  3t trên đoạn 1;  7Ta có bảng biến thiên:t0,580492f (t )Vậy maxP  167321948022khi a  2; b  hoặc a  ; b  249770,54. Tính giá trị của biểu thứcTa có: cos   3,01 sin   cos 422 1  sin cos  sin   cos   P1,01  sin   cos 21 sin   cos   sin   cos  12220,52Theo bài ra:  sin   cos     sin   cos    2   sin   cos  1 Do    0;   sin   cos   0  sin   cos   2 43 2Vậy: P 25. Xác định điểm K   Đặt: AB  a ; AC  b và AK  t. ACKhi đó: BK   a  t.bwww.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807121,00,54,00,50,5Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017Ta có: 3  3    1 AI  AM  AB  BM ; BM  BC444 9  3 1   AC  AB  AI  a  b41616   9  3  7  3Mà BI  AI  AB  a  b  a   a  b16161616Để ba điểm B , I , K thẳng hàng thì 7  3  m : BK  mBI   a  t.b  m   a  b 16  167m161  m167t  3mt  3 16 7 3 3Suy ra AK  . AC  AK  . AC773Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK  . AC76. Viết phương trình cạnh BCA1,0KIBMC0,50,51,03,0 1  2 Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1 0,5Phương trình đường thẳng AD : x  2  00,5Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:Ax  2  0 x  2; y  4 E  2; 4  22x  2; y  6 4 x  4 y  4 x  8 y  120  0 Mặt khác: BAE  CAE (do AD là phân giác)B1,0ID EB  EC  IE  BCC0,5E  52Mà IE   ; 5   cạnh BC có vtpt n  1; 2 3Phương trình cạnh BC: 1 x  2   2  y    0  x  2 y  5  020,5Một số điểm lưu ý:Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 4CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)22Ta có: P   a  b   2  a  b   16  ab   12abĐặt: t  ab 1. Khi đó: P  f (t )  16t 2  12t1622Theo bài ra: 4 ab   a  b   16  ab   ab 111 t  (do ab  )1644a , b   0; 2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  0 ab  8ab  4  0  ab 44t771 4Xét hàm số: f (t ...