Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Quán Nho, Thanh Hóa

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi chọn HSG sắp tới cũng như giúp các em củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Quán Nho, Thanh Hóa dưới đây. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập. Chúc các bạn thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Quán Nho, Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO NĂM HỌC 2019-2020 Tháng 2 U MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút)Câu 1( 4,0 điểm)U U1) . Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có đồ thị là (P 1 ) và hàm số y = x 2 + 2 x + 3 có đồ thị là (P 2 ). Giả sử R R R Rđường thẳng (d): y = m cắt (P 1 ) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P 2 ) tại hai điểm C, D. Tìm m để R R R RAB = 2CD . 1 + 2 x − 2 x 2 + 3x + 12) Giải bất phương trình > 1. 1 − 2 x2 − x + 1Câu 2( 4,0 điểm)U U x1) Giải phương trình 4cos3 x cos x − 2cos 4 x − 4cos x + tan tan x + 2 =0. 2  9 y 2 + ( 2 y + 3)( y − x ) + 4 xy =  7x2) Giải hệ phương trình.   7 x 2 + 25 y + 19 − x 2 − 2 x − 35= 7 y + 2Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằngU U 1 + x2 1 + y2 1 + z2 3 + + ≥ . 1 + 4 1 + y 3 + 3z 2 1 + 4 1 + z 3 + 3x 2 1 + 4 1 + x3 + 3 y 2 5  2  u1 =  3  , ∀n ≥ 2.2) Cho dãy số ( un ) xác định như sau  un−1 Tính tổng của 2019 số un =  2 ( 2n − 1) un−1 + 1hạng đầu tiên của dãy số ( un ) .Câu 4( 4,0 điểm)U U1) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thaythế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt khôngcó hai cây nào gần nhau.2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp đường tròntâm I. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC, H là hình chiếu vuông góc của C trênđường thẳng BI. Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là x  y  1  0 vàx  2y  1  0 . Biết điểm B thuộc đường thẳng y  5  0 và điểm I thuộc đường thẳng x  1  0 .Tìm tọa độ điểm C.Câu 5( 4,0 điểm)U U 1. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  3a và AD  a 3 . Cạnh bên SA  2a và SA vuông góc với mặt đáy ABCD  . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc củađỉnh A lên các cạnh SB và SD . Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng AHK .  2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi H là hìnhchiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC  và P là điểm bất kỳ trong tam giác ABC . Chứng minh PA2 PB 2 PC 2 PH 2rằng   2 . OA2 OB 2 OC 2 OH 2 ....................... HẾT ....................... 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT THANH HÓA NĂM HỌC 2019-2020 Tháng 2 U MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020 Câu Đáp án Điểm 1a Xét 2 phương trình: x − 4 x + 3 − m = 2 0 (1) và x 2 + 2 x + 3 − m =0 (2) ∆ = m + 1 > 0 ĐK:  1 ⇒m>2 ∆ 2 = m − 2 > 0 AB = 2CD ⇔ AB 2 = 2CD 2 ⇔ ( x1 − x2 ) 2 = 2( x3 − x4 ) 2 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 2[( x3 + x4 ) 2 − 4 x3 x4 ] ⇔ 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] ⇒ m = 5 ĐS: m = 5. 2.0 1b + Điều kiện x ≥ 0(2 điểm) 2  1 3 1 2  x −  + ≥ 3 > 1 nên 1 − 2 x 2 − x + 1 < 0 + Ta có 2 x − x += 2  2 4 Do đó bất phương trình ⇔ 1 + 2 x − 2 x 2 + 3 x + 1 < 1 − 2 x 2 − x + 1 ⇔ x + x 2 − x + 1 < x 2 + 3x + 1 0.5 + Nếu x = 0 thì bất phương trình trở thành 1 < 1 (vô lý) 1 1 + Nếu x > 0 thì bất phương trình ⇔ 1 + x + − 1 < x + + 3 x x 0,5 1 + Đặt x + = ...