Đề thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn Toán

Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia môn Toán lớp 12 THPT để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn Toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 12/01/2011Bài 5 (7,0 điểm). Cho dãy số nguyên (an) xác định bởi a0 = 1, a1 = − 1 và an = 6an −1 + 5an − 2 với mọi n ≥ 2.Chứng minh rằng a2012 − 2010 chia hết cho 2011.Bài 6 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC , ACB làcác góc nhọn. Xét một điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B,C và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng d vuông góc với BC tại Dcắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại E và F. Gọi M, N và P lần lượt là tâmđường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng bốn điểmA, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâmđường tròn nội tiếp tam giác ABC.Bài 7 (6,0 điểm). Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức P ( x, y ) = x n + xy + y nkhông thể viết được dưới dạng P ( x, y ) = G ( x, y ).H ( x, y ) ,trong đó G(x, y) và H(x, y) là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng. ----------------------------HẾT--------------------------- • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị không giải thích gì thêm.