Đề thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 65 năm 2024

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, Đề thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 65 năm 2024 sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh thi Olympic Toán sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 65 năm 2024 IMO2024 65th International Mathematical Olympiad VNM1 Vietnamese (vie), day 1 Exam hall: J - 05 Thứ Ba, ngày 16 tháng Bảy năm 2024Bài 1. Xác định tất cả các số thực ? sao cho với mọi số nguyên dương ? thì sốnguyên ⌊?⌋ + ⌊2?⌋ + ⋯ + ⌊??⌋là một bội của ?. (Trong đó, ⌊?⌋ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá ?. Vídụ, ⌊−?⌋ = −4 và ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)Bài 2. Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (?, ?) sao cho tồn tại các số nguyêndương ? và ? thỏa mãn: gcd⁡(? ? + ?, ? ? + ?) = ?với mọi số nguyên ? ⩾ ?. (Trong đó, gcd⁡(?, ?) ký hiệu ước chung lớn nhất của cácsố nguyên ? và ?.)Bài 3. Cho dãy vô hạn các số nguyên dương ?1 , ?2 , ?3 , … và số nguyên dương ?. Giảsử rằng với mọi ? > ?, ? ? bằng số lần xuất hiện của ? ?−1 trong dãy ?1 , ?2 , … , ? ?−1.Chứng minh rằng một trong hai dãy số ?1 , ?3 , ?5 , … và ?2 , ?4 , ?6 , … là tuần hoàn kểtừ một chỉ số nào đó. (Một dãy số vô hạn ?1 , ?2 , ?3 , … là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó nếu tồn tại cácsố nguyên dương ? và ? sao cho ? ?+? = ? ? với mọi ? ⩾ ?.) IMO2024 65th International Mathematical Mathematical Olympiad Vietnamese (vie), day 2 Exam hall: R - 36 Thú Tư, ngày 17 tháng Bảy năm 2024Bài 4. Cho tam giác ??? với ?? < ?? < ??. Gọi ? và ? tương ứng là tâm nội tiếpvà đường tròn nội tiếp tam giác ???. Gọi ? là điểm nằm trên đường thẳng ??, khác ?, sao cho đường thẳng qua ? và song song với ?? tiếp xúc với ?. Tương tự, gọi ?là điểm nằm trên đường thẳng ??, khác ?, sao cho đường thẳng qua ? và song songvới ?? tiếp xúc với ?. Đường thẳng ?? cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ???tại ? ≠ ?. Gọi ? và ? tương ứng là trung điểm của ?? và ??.Chứng minh rằng ∠??? + ∠??? = 180∘ .Bài 5. Ốc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông gồm 2024 hàng và2023 cột. Trong 2022 ô vuông đơn vị nào đó, có các con quỷ nấp ở đó. Ban đầu,Turbo không hề biết ô nào có quỷ nấp, nhưng nó biết rằng trên mỗi hàng có đúngmột con quỷ, ngoại trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, và trên mỗi cột có khôngquá một con quỷ.Turbo thực hiện một chuỗi các lần thử để tìm cách đi từ hàng đầu tiên tới hàngcuối cùng. Tại mỗi lần thử, nó được quyền chọn một ô bất kỳ trên hàng đầu tiên đểxuất phát, sau đó liên tục di chuyển giữa các ô, mỗi bước từ một ô sang một ô cócạnh chung với ô mà nó đang đứng. (Nó được phép đi qua các ô đã từng ghé quatrước đó.) Nếu nó tới một ô có quỷ thì lần thử này dừng lại và nó được đưa trở lạihàng đầu tiên để thực hiện một lần thử mới. Những con quỷ không di chuyển, vàTurbo nhớ mỗi ô nó từng ghé qua là có quỷ hay không. Nếu nó tới được một ô bấtkỳ trên hàng cuối cùng thì trò chơi kết thúc.Xác định giá trị nhỏ nhất của ? sao cho Turbo luôn có chiến lược đảm bảo tới đượchàng cuối cùng sau không quá ? lần thử, cho dù những con quỷ có nấp ở những ônào đi chăng nữa.Bài 6. Ký hiệu ℚ là tập các số hữu tỷ. Một hàm số ?: ℚ → ℚ được gọi là đẹp nếu cótính chất sau: với mỗi ?, ? ∈ ℚ, ?(? + ?(?)) = ?(?) + ? hoặc ⁡?(?(?) + ?) = ? + ?(?).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên ? sao cho với mọi hàm số đẹp ?, có không quá? số hữu tỷ phân biệt có dạng ?(?) + ?(−?), với ? là số hữu tỷ nào đó, và tìm giá trịnhỏ nhất có thể của ?. Bài 1. Xác định tất cả các số thực ? sao cho với mọi số nguyên dương ? thì số nguyên ⌊?⌋ + ⌊2?⌋ + ⋯ + ⌊??⌋ là một bội của ?. (Trong đó, ⌊?⌋ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá ?. Ví dụ, ⌊−?⌋ = −4 và ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)Câu trả lời: Tất cả các số nguyên chẵn đều thỏa mãn điều kiện của bài toán vàkhông có số thực ? nào khác thỏa mãn điều kiện này.Lời giải 1: Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng các số nguyên chẵn thỏa mãnđiều kiện. Nếu ? = 2m , trong đó m là một số nguyên, thì ⌊?⌋ + ⌊2?⌋ + ⋯ + ⌊??⌋ = 2? + 4? + ⋯ + 2?? = ??(? + 1)đây là một bội số của ?.Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng chỉ có các số thực này mới thỏa mãn điềukiện của bài toán. Giả sử ? = ? + ?, trong đó ? là một số nguyên và 0 ⩽ ? < 1. Khiđó số ??(? + 1) ⁡⌊?⌋ + ⌊2?⌋ + ⋯ + ⌊??⌋ = ? + ⌊?⌋ + 2? + ⌊2?⌋ + ⋯ + ?? + ⌊??⌋ = + ⌊?⌋ + 2 ⁡⌊2?⌋ + ⋯ + ⌊??⌋phải là một bội số của n. Chúng ta xét hai trường hợp dựa trên tính chẵn lẻ của ?.Trường hợp 1: k là số chẵn. Khi đó: ??(? + 1) 2luôn ...