Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chung) năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

Hi vọng "Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm" chia sẻ dưới đây sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi của mình. Chúc các bạn thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chung) năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà NộiĐáp án đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên vòng 1 chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2023 NGUYỄN TIẾN LÂM − NGUYỄN NHẤT HUY NGÀY 1 THÁNG 6 NĂM 2023 1 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 1 Câu 1 a) Rút gọn biểu thức: √ √ x2 + 8 x 2x + x 16 − 4x A= √ + √ + √ (x > 0) x−2 x+4 x x+1 b) Một khay nước có nhiệt độ 125◦ F khi bắt đầu cho vào tủ đá. Ở trong tủ đá, cứ sau mỗi giờ, nhiệt độ khay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độ khay nước chỉ còn là 64◦ F.Lời giải. √a) Đặt x = a, suy ra x = a2 . Khi đó ta được biểu thức a4 + 8a 2a2 + a 16 − 4a2 A= + + a2 − 2a + 4 a a+2 a(a + 2)(a − 2a + 4) 2a2 + a 16 − 4a2 2 = + + a2 − 2a + 4 a a+2 = a(a + 2) + 2a + 1 − 4(a − 2) = a2 + 9 = x + 9. 4b) Nhiệt độ của khay nước sau mỗi giờ còn lại 80% = . Gọi t (giờ) là thời gian để nhiệt dộ 5 giảm về 64o F. Khi đó ta có phương trình sau t t 3 4 4 64 4 · 125 = 64 ⇔ = = 5 5 125 5 ⇔ t = 3. Vậy sau 3 giờ nhiệt độ của khay đá giảm về 64◦ F. 2 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 1 Câu 2 a) Cho phương trình: x2 − (2m − 1) x − m2 + 1 = 0 m là tham số (1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m. −1 b) Cho parabol (D) : y = ax2 (a = 0) đi qua A −1; . Tìm tọa độ điểm M trên (P ) 2 sao cho khoảng cách từ M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành.Lời giải.a) Ta có ∆(1) = [−(2m − 1)]2 − 4.1.[−(m2 + 1)] = (2m − 1)2 + 4m2 + 4 > 0, vì thế với mọi m, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Vi-et thì x1 + x2 = 2m − 1 và x1 .x2 = −(m2 + 1). Khi đó ta được 4m2 = (x1 + x2 + 1)2 m2 = −1 − x1 .x2 Từ đây ta được (x1 + x2 + 1)2 + 4x1 x2 + 4 = 0. Hệ thức này không phụ thuộc vào m. Bài toán được chứng minh. 1b) Do parabol (P ) : y = ax2 (a = 0) đi qua điểm A −1; nên 2 1 1 a · (−1)2 = ⇔a= . 2 2 1 2 1 Khi đó parabol (P ) : y = xM ; x2 . Tức là khoảng cách từ điểm M đến x , ta đặt M 2 2 M 1 trục tung là xM , khoảng cách từ điểm M đến trục hoành là x2 . 2 M Do khoảng cách từ M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành nên 1 xM = 2 · x2 ⇔ xM = x2 2 M M ⇔ xM (xM − 1) = 0 ⇔ xM = 0 hoặc xM = 1. 1 Vậy tất cả tọa độ điểm M thỏa mãn bài toán là M (0; 0) hoặc M 1; . 2 3 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 1 Câu 3 Cho hình bình hành ABCD có ABC = 120◦ và BC = 2AB. Dựng đường tròn (O) có đường kính AC. Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB, AD với đường tròn (O). Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng BC, BD tại H, S. Chứng minh a) Tam giác ABD là tam giác vuông. b) Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp. c) SC là tiếp tuyến của dường tròn (O).Lời giải. E B H C O A F T D Sa) Gọi T là trung điểm của AD. Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD, BC AD nên BAD = 180◦ − ABC = 180◦ − 120◦ = 60◦ 1 1 và T A = AD = BC = AB nên tam giác ABT đều suy ra T B = T A = T D. 2 2 Từ đây ta được B thuộc đường tròn đường kính AT hay ABD = 90◦ . Bài toán được chứng minh.b) Theo câu a) từ ABD = 90◦ ta ...