Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Cùng tham gia thử sức với “Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội” để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức môn học nhằm chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp diễn ra. Chúc các em vượt qua kì thi học kì thật dễ dàng nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà NộiCâu lạc bộ Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3 2. PHẦN LỜI GIẢI Câu 1: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình √ √ x − 3 − 2x − 7 = 2x − 8 2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện a2 − c2 = c, c2 − b2 = b và b2 − a2 = a. Chứng minh (a − b)(b − c)(c − a) = 1Lời giải. 71) Điều kiện xác định x ≥ . 2 Sử dụng nhân liên hợp, ta có phương trình ban đầu tương đương với x − 3 − 2x + 7 √ √ = 2x − 8. x − 3 + 2x − 7 Chuyển vế, rút nhân tử chung ta được 1 (x − 4) 2 + √ √ = 0. x − 3 + 2x − 7 √ √ 1 7 Ta có x − 3 ≥ 0, 2x − 7 ≥ 0 nên 2 + √ √ > 0 với mọi x ≥ , kéo theo x = 4 x − 3 + 2x − 7 2 (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 4.2) Theo đề bài ta có a2 − c2 + c2 − b2 = c + b và a, b, c = 0 nên a2 − b2 = c + b. Nếu a + b = 0 thì a = −b. Tuy nhiên khi đó a = b2 − a2 = 0 là trái giả thiết. Do đó, ta phải có a + b = 0 c+b dẫn tới a − b = . a+b c+a a+b Hoàn toàn tương tự ta có b − c = và c − a = . b+c c+a Từ đây ta suy ra c+b c+a a+b (a − b)(b − c)(c − a) = · · = 1. a+b b+c c+a Đây chính là điều phải chứng minh.Câu lạc bộ Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4 Câu 2: (2,0 điểm) 1) Cho ba số nguyên a, b và c thỏa mãn a2 + b2 + c2 − 2abc chia hết cho 6. Chứng minh abc chia hết cho 54 2) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn x3 y − x2 y − 4x2 + 5xy − y2 = 0.Lời giải.1) Nếu cả ba số a, b, c đều lẻ thì a2 + b2 + c2 − 2abc sẽ lẻ và do đó a2 + b2 + c2 − 2abc không chia hết cho 6, trái giả thiết. Do đó, trong ba số a, b, c phải có ít nhất một số chẵn, nghĩa là abc chia hết cho 2. Nếu abc không chia hết cho 3 tức là trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 3, dẫn tới a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 1 (mod 3). Vì a2 + b2 + c2 − 2abc chia hết cho 3 nên −2abc cũng chia hết cho 3, vô lí vì a, b, c đều không chia hết cho 3. Do đó, ta phải có abc chia hết cho 3. Từ đây ta có ngay a2 + b2 + c2 chia hết cho 3. Vì số chính phương khi chia 3 thì dư chỉ có thể là 0,1 cả 3 số a2 , b2 , c2 phải chia hết cho 3 kéo theo a, b, c đều chia hết cho 3. Khi đó abc chia hết cho 27. Vì (27, 2) = 1 nên abc chia hết cho 27 · 2 = 54. Phép chứng minh hoàn tất.2) Phương trình đã cho được viết lại thành y2 − (x3 − x2 + 5x)y + 4x2 = 0. Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y, tính biệt thức ∆ = (x3 − x2 + 5x)2 − 16x2 = x2 (x2 − x + 1)(x2 − x + 9). Điều kiện cần để phương trình có nghiệm y nguyên là ∆ là số chính phương. Suy ra (x2 − x + 1)(x2 −x+9) là số chính phương (do x nguyên dương nên x2 > 0). Vì x2 −x+1 = x(x−1)+1 là số lẻ và nếu gọi d = gcd(x2 − x + 1, x2 − x + 9) thì d lẻ và d | (x2 − x + 9) − (x2 − x + 1) = 8 nên ta phải có d = 1. Suy ra x2 − x + 1, x2 − x + 9 đều là các số chính phương. Mà (x − 1)2 < x2 − x + 1 < (x + 1)2 nên x2 − x + 1 = x2 và tìm được x = 1. Thay x = 1 tìm được y = 1, y = 4. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương (x, y) là (1, 1) và (1, 4).Câu lạc bộ Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 5 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) sao cho xy là số chính phương và x2 + xy + y2 là số nguyên tố. 2) Với các số thực không âm a, b, c thoả mãn a + 2b + 3c = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + 6b + 6c)(a + b + c).Lời giải.1) Đặt xy = z2 với z ∈ N thì x2 + xy + y2 = x2 + y2 + z2 = (x + y)2 − z2 = (x + y − z)(x + y + z). Chú ý là xy = z2 ≥ 0 nên x, y ở cùng phía với 0. Và nếu cặp (x, y) thoả mãn thì cặp (−x, −y) cũng thoả mãn, do đó ta chỉ cần xét x, y ≥ 0. Khi đó x + y + z ≥ x + y − z và do x2 + y2 + z2 là số nguyên tố nên ta phải có x + y − z = 1, x2 + y2 + z2 = x + y + z. Do x, y, z ∈ N nên x2 ≥ x, y2 ≥ y, z2 ≥ z nên để có đẳng thức x2 + y2 + z2 = x + y + z thì x2 = x, y2 = y, z2 = z. Suy ra x, y ∈ {0, 1}. Thử trực tiếp thì chỉ có x = y = 1 là thoả mãn bài toán. Vậy, có hai cặp (x, y) là (1, 1), (−1, −1).2) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 2 3 1 3 P≥ a + 3b + 3c (3a + 3b + 3c) ≥ a + 3b + 3c ≥ (a + 2b + 3c)2 = 1. 2 2 2 2 1 2 Suy ra P ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0, c = . Giá trị nhỏ nhất của P là . 3 3 3 Lại có, theo bất đẳng thức AM-GM thì (a + 6b + 6c + 4a + 4b + 4c)2 25(a + 2b + 3c)2 25 4P = (a+6b+6c)(4a+4b+4c) ≤ ...