Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội

Mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội" để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy, và học tập môn Toán. Đây còn là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh chủ động củng cố, nâng cao kiến thức tại nhà.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà NộiĐáp án đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên vòng 2 chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2023 NGUYỄN TIẾN LÂM − NGUYỄN NHẤT HUY NGÀY 1 THÁNG 6 NĂM 2023 1 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 2 Câu 1 1 Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1 là bình phương của một số nguyên. 2 Tìm các cặp số nguyên (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 2xy − x = 10 x + y + xy = 11.Lời giải. 1 Gọi 4 số nguyên liên tiếp bất kỳ là a, a + 1, a + 2, a + 3 với a ∈ Z. Ta có các biến đổi sau a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = a2 + 3a a2 + 3a + 2 + 1 2 = a2 + 3a + 2 a2 + 3a + 1 2 = a2 + 3a + 1 . 2 Vì (a2 + 3a + 1) là một số chính phương nên bài toán được chứng minh. 2 Bằng các phép biến đổi ta được hệ phương trình sau 2xy − x = 10 x (2y − 1) = 10 ⇔ (1) x + y + xy = 11. (x + 1) (y + 1) = 12. Vì x, y nguyên nên x, 2y − 1 nguyên do đó 2y − 1 là ước lẻ của 10. Ta xét các trường hợp sau. Ȋ 2y − 1 = 1 suy ra y = 1 và x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn. Ȋ 2y − 1 = −1 suy ra y = 0 và x = −10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Ȋ 2y − 1 = 5 suy ra y = 3 và x = 2 thay vào (1) ta thấy thỏa mãn. Ȋ 2y − 1 = −5 suy ra y = −2 và x = −2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn duy nhất là (x, y) = (2, 3).! Câu 1a) là một câu quen thuộc mang tính chất cho điểm cho các thí sinh thi vòng 2. 2 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 2 Câu 2 a) Cho a, b là các số thực không âm, c là số thực dương thỏa mãn đẳng thức √ √ √ √ a − a + b − c = b + c. √ √ √ √ Chứng minh rằng 3 a + 3 b − 3 c = 3 a + b − c. b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số √ √ 3+ a √ √ 5+ b là số hữu tỷ.Lời giải.a) Bằng các phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có √ √ √ √ √ √ √ √ a− a+b−c= b+ c⇔ a− b= c+ a+b−c √ ⇒ a + b − 2 ab = a + b + 2 c (a + b − c) √ ⇔ ab + c (a + b − c) = 0 ab = 0 ⇔ (*) (a + b − c) = 0 Ta cần chứng minh √ √ √ √ 3 3 3 a+ b − 3 c = a + b + c. Ta biến đổi tương đương đẳng thức này kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có √ √ 3 √ √3 √ √3 √ √3 3 a+ b− 3c= a+b−c⇔ 3a+ b= 3c+ a+b−c √ √ a2 b + ab2 = a + b + 3 3 c2 (a + b − c) + c (a + b − c)2 3 3 3 ⇔a+b+3 √ √ c (a + b − c)2 3 3 3 3 ⇔ a2 b + ab2 = c2 (a + b − c) + Đẳng thức cuối đúng với điều kiện (∗) nên đẳng thức đầu đúng. Bài toán được chứng minh.b) Lấy α ∈ Q sao cho √ √ 3+ a √ √ = α. 5+ b Viết lại phương trình dưới dạng √ √ √ √ a − α b = α 5 − 3. Bình phương 2 vế ta có √ √ a + α2 b − 2α ab = 5α2 + 3 − 2α 15. Từ đó suy ra √ √ ab − 15 = β ∈ Q. √ √ Bình phương 2 vế đẳng thức ab = 15 + β ta được 3 L I GI I Đ THI TOÁN VÀO L P 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ N I − VÒNG 2 √ √ ab = 15 + β 2 + 2β 15 ⇔ 2β 15 = ab − 15 − β 2 . Đẳng thức cuối xảy ra khi và chỉ khi β = 0; tức là ab = 15. Xét tất cả khả năng có thể xảy ra, ta được. √ 3+1 1 Ȋ a = 1, b = 15, tức là α = √ √ = √ là 1 số vô tỷ. 5 + 15 5 √ ...