Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An

Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi sắp tới. Thuvienso.net xin gửi đến các em "Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An". Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ AnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU THCS.TOANMATH.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN – TRƯỜNG ĐH VINH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)--------------- HẾT --------------- 1 LỜI GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Được thực hiện bởi Nguyễn Nhất Huy, Thầy Trịnh Văn Luân™ Bài 1: √ √ a) Giải phương trình x + 1 + x2 − x = x2 + 1.   (2xy − 1)2 + 4x2 = 5y 2 b) Giải hệ phương trình .  2x (x − y 2 ) = y 2 − y Hướng dẫn giải a) Điều kiện x ≥ −1. √ √ Ta có x + 1 + x2 − x = x2 + 1 √ √ ⇔ x + 1 + x2 + 1 − (x + 1) = x2 + 1. √ √ Đặt a = x + 1, b = x2 + 1. Điều kiện a ≥ 0, b > 0. Khi đó phương trình trở thành: a + b2 − a2 = b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = 0  a=b ⇔ a + b = 1. √ √ Trường hợp 1. Nếu a = b ⇒ x + 1 = x2 + 1 ⇔ x + 1 = x2 + 1  x = 1 (thoả mãn) ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔  x = 0 (thoả mãn). √ √ Trường hợp 2. Nếu a + b = 1 ⇒ x + 1 + x2 + 1 = 1. √ √ √ Vì x2 + 1 > 1 = 1; x + 1 > 0, với mọi x ≥ −1. Suy ra V T > 1, nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 0}.   (2xy − 1)2 + 4x2 = 5y 2 (1) b)  2x (x − y 2 ) = y 2 − y (2) (2) ⇔ (2xy − 1)y = 2x2 − y 2 . • Nếu y = 0 ⇒ 4x2 + 1 = 0(vô lý), vì 4x2 + 1 > 1 > 0. • Nếu y ̸= 0. Khi đó 2x2 − y 2 Thế 2xy − 1 = vào (1), ta được y 2 2 2x − y 2 + 4x2 = 5y 2 (3). y 2 x Đặt = t và chia hai vế của (3) cho y 2 , ta được: y (2t − 1)2 + 4t2 = 5 2 ⇔ 4t4 − 4t2 + 1 + 4t2 = 5 ⇔ 4t4 = 4 ⇔ t4 = 1 ⇔ (t − 1)(t + 1)(t2 + 1) = 0  t=1 ⇔ . t = −1 • Nếu t = 1 ⇒ x = y thế vào (2), ta được ⇔ x2 = (2x2 − 1)x ⇔ x(2x2 − x − 1) = 0 ⇔ x(x − 1)(2x + 1) = 0  x = 0 ⇒ y = 0 (loại vì y ̸= 0)   ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 .  −1 −1 x= ⇒y= 2 2 • Nếu t = −1 ⇒ y = −x, thế vào (2) ta được ⇔ (2x2 + 1)x = x2 ⇔ x(2x2 − x + 1) = 0 2 ! 2 1 7 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 (loại vì y = ̸ 0). vì 2x − x + 1 = 2 x − + >0 . 4 8 −1 −1 Vậy hệ có nghiệm (1; 1), ; . 2 2™ Bài 2: a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn (x − y)2 (8 − xy) + 4 = 12(x − y). b) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 36 và 122n + 25 không đồng thời là số chính phương. Hướng dẫn giải 3a) Đặt x − y = a, xy = b thì a, b ∈ Z, ta biến đổi phương trình như sau (x − y)2 (8 − xy) + 4 = 12(x − y) ⇔ a2 (8 − b) + 4 = 12a 8a2 − 12a + 4 12a − 4 ⇔b= 2 =8− ∈Z (1) a a2 12a − 4 ⇔ ∈Z a2 Suy ra a2 | 12a − 4 = 4(3a − 1) mà (3a − 1, a2 ) = (3a − 1, a) = 1 nên a2 | 4. Từ đây ta được a ∈ {1, −1, 2, −2}. Ta xét các trường hợp sau • Nếu a = 1 thế vào (1) ta được b = 0 hay x − y = 1 và xy = 0. Từ đây ta được các cặp (x, y) thỏa mãn là (0, −1), (1, 0). • Nếu a = −1 thế vào (1) ta được b = 24. Bằng phép thế ta được phương trình y(y − 1) = 24. Không có (x, y) thỏa mãn vì phương trình này vô nghiệm nguyên. • Nếu a = 2 thế vào (1) ta được b = 3. Bằng phép thế ta được phương trình y(y + 2) = ...