Định lý bướm kép đối với tứ giác

Nội dung chính của bài viết giúp bạn khám phá chứng minh định lí bướm đơn và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này là mở rộng các kết quả trong của tác giả Zvonko Cerin. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý bướm kép đối với tứ giácĐỊNH LÝ BƯỚM KÉP ĐỐI VỚI TỨ GIÁC NGUYỄN NGỌC GIANG (TP. HỒ CHÍ MINH) TRỊNH HUY VŨ (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI) Tóm tắt Chúng ta sẽ khám phá chứng minh định lí bướm đơn và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này là mở rộng các kết quả trong [1] của tác giả Zvonko Cerin.1. Định lí bướm đơn đối với tứ giácZvonko Cerin [1] đã chứng minh được kết quả sau gọi là định líbướm đơn đối với tứ giácĐịnh lý 1 (Định lí bướm đơn đối với tứ giác). Cho A0 B 0 C 0 D0 là tứgiác nội tiếp của ABCD. Giả sử ABCD và A0 B 0 C 0 D0 cùng chunggiao điểm của các đường chéo. U và V lần lượt là các giao điểmcủa đường thẳng AC với các đường thẳng D0 A0 và B 0 C 0 .. Định lícon bướm đối với tứ giác, được thiết lập AU IV AI . = . (1) UI V C ICZevonko Cerin cũng đã mở rộng hệ thức (1) thành định lí tổngquát sauĐịnh lý 2. Gọi A0 B 0 C 0 D0 là tứ giác nội tiếp của ABCD. E là giaocủa A0 C 0 và B 0 D0 . I là giao của AC và BD. U là giao của AC vàD0 A0 . V là giao của AC và B 0 C 0 . Nếu E nằm trên đường thẳngAC, thì AU EV AI . = . (2) UE V C IC 205 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.Cerin chứng minh hệ thức (2) bằng phương pháp tọa độ với sựtrợ giúp của phần mềm Maple. Cách chứng minh của Cerin cóưu điểm là cách chứng minh có tư duy thuật toán. Nhược điểmcủa nó là lời giải dài, tính toán phức tạp. Chính vì thế để khắcphục nhược điểm này, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra cáchchứng minh thuần túy hình học. J D C V C F M I D U E A B H A B GChứng minh định lý 2. Đặt B 0 D0 cắt AB tại F ; A0 C 0 cắt AD tạiG; F G cắt AC tại H; F G cắt B 0 C 0 tại J, A0 C 0 cắt BD tại M. Xét∆AF G và ∆CB 0 C 0 có AC, F B 0 , GC 0 đồng quy tại E. Theo định líDesargues, suy ra J, D, B thẳng hàng. Nói cách khác là J nằmtrên BD. Xét tứ giác toàn phần AD0 EA0 F G, ta có HA UA (HU, AE) = −1 suy ra = . HE UETừ đây ta có (HI, AE) = G(HI, AE) = (JI, DM ) = C 0 (JI, DM ) = (V I, CE).Suy ra HA IE V C IE AU EV AI . = . suy ra . = . HE IA V E IC UE V C IC 206Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.Đây chính là điều phải chứng minh.2. Định lí bướm kép đối với tứ giácTừ định lí 1, chúng tôi nảy sinh ra ý tưởng mở rộng định lí bướmđơn đối với tứ giác thành định lí bướm kép như sauĐịnh lý 3 (Định lí bướm kép đối với tứ giác). Cho tứ giác ABCD.Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua I dựngcác đường thẳng d1 , d2 , d3 ; d01 , d02 , d03 lần lượt cắt các cạnh AB, BC, CD, DAtại M, R, G; N, S, H; P, T, F ; Q, L, J. Gọi giao điểm của RL, GJ; ST, HFvới AC lần lượt là U2 , U3 ; V2 , V3 . Gọi giao điểm của M U3 với AD làW ; QU2 với AB là X. Gọi giao điểm của N V3 với DC là Z; P V2 vớiBC là Y. Gọi giao điểm của XW với AC là U ; Y Z với AC là V.Chứng minh rằng AU IV AI . = . (3) UI V C IC D F P Q Z W T J L U U3A V3 V U2 I V2 C X R Y S M H G N B 207 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.Chúng tôi mở rộng định lý 3 thành định lý 4 tổng quát hơn nhưsauĐịnh lý 4. Cho tứ giác ABC ...