đồ án: thiết kế công nghệ CAD/CAM trong gia công cơ khí, chương 8

Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉ đại lượng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử Ve. Điều này cho phép khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
đồ án: thiết kế công nghệ CAD/CAM trong gia công cơ khí, chương 8 Chương 8: Hàm xấp xỉ - phép nội suy1. Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉđại lượng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử Ve. Điều này chophép khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toànmiền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạnghàm xấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đếnlà việc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trongphạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được chọn ở dạng đathức vì 3 lí do sau: + Đa thức khi được xem như tổ hợp tuyến tính của các đơn thứcthì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính nhưyêu cầu của Rits, Galerkin. + Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lậpcông thức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phầntử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt dễ đạo hàm, tíchphân. + Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đathức xấp xỉ (Về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ chonghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ thấy các đathức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. Chú ý là các hàm đa thức xấp xỉ ởdạng lượng giác cũng có tính chất và ưu điểm như trên nhưng ítdùng.2. Phép nội suy Trong phương pháp phần tử hữu hạn các hệ số của hàm xấp xỉdạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cảgiá trị đạo hàm) tại một điểm nút được định trước trên phần tử. Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị (hoặccác đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vimỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóabằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả đạo hàm) củachính nó tại điểm nút của phần tử. Hình 2.1 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương phápLagrange Các hàm đa thức bất kì được biểu diễn bằng hàm xấp xỉ bằngcác đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo các giá trị)của hàm tại các điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này đượcgọi là phép nội suy Lagrange. Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suyHecmit là phép xấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 nào đótại điểm cơ sở. Hình 2.2. Hàm nội suy Hecmit3. Chọn bậc đa thức xấp xỉ (hay hàm xấp xỉ ) Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới những yêu cầu sau: Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là mộtyêu cầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là phươngpháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tửgiảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đathức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:  Liên tục trong phần tử Ve  Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái đơn vị ( hằngsố ) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàmI(u) đòi hỏi. I(u) =  F ( x, u, u , , u ,, ,..., u ( r ) )dx V Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r – 1) làliên tục. Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳnghướng của hình học. Có như vậy các xấp xỉ mới độc lập với hệ tọađộ phần tử. Muốn vậy dạng các đa thức được chọn từ các tam giácPascal (cho bài toán 2 chiều) hay từ tháp Pascal (bài toán 3 chiều). Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phảibằng số bậc tự do của phần tử qe. Yêu cầu này cho khả năng nộisuy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút.4. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phầntử. Ma trận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giátrị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tạinút. Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọilà vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q}e. Hay trong vậtrắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự donày (hay các chuyển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theoPhương pháp phần tử hữu hạn: q  u , v , u , v , u , v  T i i j j k k e   q1 , q2, q3 , q4, q5 , q6  T e Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thìvectơ chuyển vị nút phần tử {q}e có số thành phần ne = s x r Trong phần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theovectơ các bậc tự do phần tử {q}e hay người ta nói rằng các đa thứcnày được nội suy theo {q}e .  q3  q   Khi đó ta có: q2   4 q4   q5   (2.2) Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vàocác đa thức xấp xỉ rồi thực hiện đồng nhất, cụ thể: (2.3) Trong đó: [A] là ma trận vuông (ne x ne) và chỉ chứa tọa độ các điểm nútphần tử. a   A q 1 e (2.4) u( x, y, z )   P( x, y, z)a  P( x, y, z A q 1 e u( x, y, z )   N q e e (2.5) ...