Giải số phương trình truyền nhiệt 2D

Báo cáo "Giải số phương trình truyền nhiệt 2D" trình bày nghiên cứu về phương pháp giải số để giải phương trình truyền nhiệt hai chiều, một trong những phương trình toán học có nhiều ứng dụng, và đề xuất kĩ thuật đưa thuật toán vào máy tính để xây dựng chương trình mô phỏng quá trình truyền nhiệt theo thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải số phương trình truyền nhiệt 2D KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2D Nguyễn Thị Trà My, Lớp K60E, Khoa Toán – Tin GVHD: TS. Nguyễn Hùng Chính Tóm tắt: Mô phỏng toán học là một ngành đã và đang phát triển hết sức mạnh mẽ trên thế giới và có vai trò quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực của đời sống xã hội. Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin nói chung và công nghệ tính toán nói riêng, những mô hình toán học phức tạp (xuất phát từ các khoa học và thực tiễn) đã được số hóa thành công nghệ và đem lại hiệu quả kinh tế cao. Báo cáo này trình bày nghiên cứu về phương pháp giải số để giải phương trình truyền nhiệt hai chiều, một trong những phương trình toán học có nhiều ứng dụng, và đề xuất kĩ thuật đưa thuật toán vào máy tính để xây dựng chương trình mô phỏng quá trình truyền nhiệt theo thời gian. Từ khóa: Phương pháp xấp xỉ sai phân, lược đồ tường minh, sự ổn định của lược đồ, phương trình truyền nhiệt, điều kiện biên Dirichlet.I. MỞ ĐẦU Tại sao phải giải số (xấp xỉ nghiệm) của một phương trình toán học? Như chúng tađã biết, phần lớn các mô hình toán học trong thực tế đều không giải được nghiệm đúng, vìvậy cần xấp xỉ nghiệm và điều khiển được sai số của nghiệm gần đúng. Hơn nữa, việc giảisố sẽ đưa đến thuật toán, tức là ta có thể ra lệnh cho máy tính thực hiện các phép tính đểtìm ra kết quả. Phương trình truyền nhiệt là một phương trình đạo hàm riêng quan trọng xuất phát từmô hình vật lí và có giá trị thực tiễn nhất định. Việc giải phương trình truyền nhiệt cho takhảo sát sự phân bố nhiệt lượng theo thời gian của một vùng chất điểm, như một thanh kimloại (với trường hợp 1 chiều) và mảnh kim loại (với trường hợp 2 chiều). Phương pháp phổ biến để giải đúng phương trình truyền nhiệt vẫn được biết đến làphương pháp Fourier (được phát triển từ năm 1822 bởi nhà toán học Joseph Fourier). Tuynhiên, trong thực hành thí nghiệm, việc cần thay đổi các dữ kiện bài toán, cũng như việc sốliệu trong thực hành phải tính toán lớn đều làm cho việc giải đúng gặp khó khăn, vì vậy màngười ta cần đến phương pháp số để giải phương trình truyền nhiệt. Phương pháp số là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương phápgiải gần đúng các bài toán dựa trên những số liệu cụ thể và cho kết quả dưới dạng số. Vớisự hỗ trợ của máy tính, phương pháp số là công cụ không thể thiếu cho phép thực hiện tínhtoán với tốc độ tính toán nhanh và khối lượng tính toán lớn. Báo cáo tập trung vào việc xây dựng phương pháp giải số, thuật toán để giải bài toántruyền nhiệt, sự ổn định, điều kiện ổn định và đề xuất kĩ thuật số hóa lược đồ, lập chươngtrình máy tính và mô phỏng số trong MATLAB.II. NỘI DUNG1. Phương pháp số và thuật toán 1.1. Bài toán Xét phương trình truyền nhiệt trên miền Ω = [a,b]×[c,d] với nguồn nhiệt f(x,y,t) thayđổi theo thời gian:7 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 với là một hằng số dương đặc trưng cho vận tốc truyền nhiệt. Giả sử trạng thái ban đầu là: và điều kiện trên biên xác định bởi: , 1.2. Giải số (xấp xỉ nghiệm) phương trình Ta phân hoạch miền Ω bởi lưới hình chữ nhật (xem Hình 1) có các đỉnh xác định bởiđiểm với i = 1,2,...,Nx và j = 1,2,...,Ny trong đó: Đồng thời, ta xét phân hoạch thời gian t bởi các điểm , và kíhiệu: Để giải gần đúng phương trình (1), trước tiên ta xấp xỉ các đạo hàm [1] bậc nhất theobiến thời gian và đạo hàm bậc hai theo biến không gian bởi: Áp dụng vào phương trình (1), ta được: Biểu diễn theo các phần tử còn lại, ta có lược đồ: trong đó: 8 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 1.3. Điều kiện ổn định của lược đồ Trong phần này, chúng ta nghiên cứu điều kiện ổn định của lược đồ (2) trong trườnghợp không có nguồn nhiệt tác động vào hệ và điều kiện biên đồng nhất bằng không. Nghiệm gần đúng của (1) là bộ các giá trị rời rạc có dạng . Tathực hiện phép biến đổi Fourier hai chiều cho nghiệm xấp xỉ trên như sau: Ta có tính chất sau đây: Giả sử với , ta có: Như vậy: Nếu với , thì , Tương tự, ta có: - Nếu với , thì , - Nếu với , thì , - Nếu với , thì . Áp dụng tính chất trên đây của phép biến đổi Fourier vào lược đồ (2) với , tađược: Vì nên ta suy ra: với Lược đồ (2) được gọi là ổn định khi và chỉ khi tức là: hay:9 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Từ đó suy ra : Như vậy, ràng buộc (*) chính là điều kiện ổn định của lược đồ. Trong quá trình môphỏng, các dữ liệu đầu vào cần phải thỏa mãn điều kiện (*) để đảm bảo thuật toán trongmáy tính hội tụ và cho kết quả tin cậy. 1.4. Dạng ma trận của lược đồ Điều đầu tiên, ta nhận thấy với cách biểu diễn lược đồ ở trên, ta đã phân hoạch miềnΩ thành lưới chữ nhật tương ứng với ma trận vuông cấp , và mỗi điểm lưới ui,j tronglược đồ đều phải được tính từ 4 số hạng lân cận là ui−1,j (bên trái), ui+1,j (bên phải), ui,j−1(bên trên), ui,j+1 (bên dưới): Hình 1. Phân hoạch, sơ đồ các điểm trên lưới ảnh hướng đến ...