Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P2

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P2" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học.Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P2 Ch−¬ng 3. t« p« trªn trôc sè thùc ThÝ dô a) A = { A : A lµ tËp më trong } lµ mét t«p« trªn (Theo MÖnh ®Ò 2). b) A = { vµ ∅ } lµ mét t«p« trªn . §©y lµ t«p« tÇm th−êng. c) A = { A : A lµ tËp con cña } lµ mét t«p« trªn . §©y lµ t«p« rêi r¹c. d) A = { A : A lµ tËp ®ãng trong } kh«ng ph¶i lµ t«p« trªn v× (ii) kh«ng tháa m·n. T«p« th«ng dông nhÊt trªn lµ t«p« trong ThÝ dô a) vµ trong gi¸o tr×nh ta chØ nãi ®Õn t«p« nµy. 3.2.2. L©n cËn §Þnh nghÜa TËp U ⊆ ®−îc gäi lµ l©n cËn cña x nÕu trong U cã mét tËp më chøa x. ThÝ dô U = {x : − 1 ≤ x ≤ 1} lµ l©n cËn cña ®iÓm O nh−ng kh«ng ph¶i lµ l©n cËn cña ®iÓm -1.MÖnh ®Ò TËp A ⊆ më khi vµ chØ khi mäi ®iÓm cña A ®Òu cã l©n cËn n»m trän trong A. Chøng minh Gi¶ thiÕt A më. Theo bæ ®Ò , víi mäi x ∈ A ta t×m ®−îc n ≥ 1 sao cho 1 1 1 1 ( x − , x + ) ⊆ A . TËp ( x − , x + ) lµ mét l©n cËn cña x n»m trän trong A. n n n n Ng−îc l¹i, lÊy x ∈ A bÊt kú. Khi ®ã cã l©n cËn U cña x n»m trän trong A. Theo ®Þnh nghÜa U chøa tËp më V ®Ó x ∈ V . Theo bæ ®Ò, tån t¹i n ®Ó 1 1 (x − ,x + ) ⊆ V ⊆ U ⊆ A . n n Còng theo bæ ®Ò trªn ta kÕt luËn A më. 3.2.3. §iÓm tô §iÓm x ∈ gäi lµ ®iÓm tô cña tËp A ⊆ nÕu mçi l©n cËn cña x ®Òu chøa ®iÓm cña A kh¸c víi x. 1 ThÝ dô a) A= { x : x = ,n = 1,2... } th× ®iÓm 0 lµ ®iÓm tô cña A. n b) A = (1, 2) th× mäi ®iÓm x víi 1 ≤ x ≤ 2 lµ ®iÓm tô cña A.MÖnh ®Ò TËp A ⊆ ®ãng khi vµ chØ khi A chøa mäi ®iÓm tô cña nã. Chøng minh Gi¶ thiÕt A ®ãng vµ x lµ ®iÓm tô cña A. Khi Êy víi mçi n ≥ 1, ta cã 1 1 ( x − , x + ) ∩ A ≠ ∅ . Chän a n bÊt kú trong tËp giao nµy. D·y {a n } héi tô tíi x. n n V× A ®ãng nªn x ∈ A. Ng−îc l¹i, cho { a n } ⊆ A lµ d·y bÊt kú héi tô tíi x. Khi Êy, hoÆc lµ x trïng víi mét trong c¸c phÇn tö cña d·y vµ suy ra x ∈ A, hoÆc lµ x kh¸c mäi a n . Trong tr−êng hîp sau mäi l©n cËn cña x ®Òu chøa v« sè phÇn tö cña d·y kh¸c x, do ®ã x lµ ®iÓm tô cña A. Theo gi¶ thiÕt x ∈ A vµ ta kÕt luËn A ®ãng. 51Ch−¬ng 3. t« p« trªn trôc sè thùc 3.2.4. C¬ së l©n cËn Hä U c¸c tËp më trong ®−îc gäi lµ c¬ së l©n cËn trong nÕu víi mçi x ∈ vµ mçi l©n cËn V cña x ta cã thÓ t×m ®−îc U∈ U sao cho x ∈U ⊆ V . 1 1 ThÝ dô a) U :={ ( x − , x + ) , x ∈ , n=1,2,3,...} lµ c¬ së l©n cËn trong . ThËt vËy, gi¶ n n sö x ∈ vµ V lµ mét l©n cËn cña x trong . Theo ®Þnh nghÜa sÏ t×m ®−îc tËp më  1 1 U⊆ V chøa x. Theo bæ ®Ò tån t¹i n sao cho kho¶ng  x − , x +  ⊆ U ⊆ V . Chøng  n n tá U lµ c¬ së l©n cËn trong . 1 1 b) U :={ ( x − , x + ) , x ∈ , n=1,2,3,...} còng lµ c¬ së l©n cËn trong . ThËt vËy, n n t−¬ng tù nh− trong thÝ dô trªn, cho x ∈ vµ V lµ mét l©n cËn cña x trong . Theo ®Þnh nghÜa sÏ t×m ®−îc tËp më U ⊆ V chøa x. Theo bæ ®Ò tån t¹i n sao cho  1 1 x− ,x+  ⊆U ⊆V .  n n  1 1 NÕu x ∈ th× kho¶ng  x − , x +  lµ phÇn tö cña hä U. NÕu x ∉ theo tÝnh trï mËt  n n 1 1 vµ do x < x + , t×m ®−îc sè c ∈ sao cho x < c < x + . Khi ®ã ®o¹n 2n 2n  1 1  c − , c +  ⊆ U ⊆ V vµ lµ phÇn tö cña hä U chøa x. Nh− vËy U lµ c¬ së l©n cËn trong .  n nMÖnh ®Ò Trong tån t¹i c¬ së l©n cËn ®Õm ®−îc. Chøng minh ThËt vËy, trong ThÝ dô b) trªn ®©y ta thÊy lµ tËp ®Õm ®−îc nªn c¬ së l©n cËn ®ã ®Õm ®−îc. __________________________________ 3.3. TËp Compact 3.3.1. TËp compact TËp A ⊆ gäi lµ compact nÕu mäi d·y trong A ®Òu chøa d·y con héi tô cã giíi h¹n trong A. ThÝ dô a) NÕu A chøa h÷u h¹n phÇn tö, th× A lµ tËp compact. ThËt vËy, cho { a n } lµ d ...