Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học.Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P3 Ch−¬ng 6. §¹o hµm Chøng minh NÕu f cã ®¹o hµm th× lim ∆f = 0 (v× ng−îc l¹i th× f kh«ng thÓ cã ∆x →0 ®¹o hµm h÷u h¹n). §iÒu nµy cã nghÜa lµ lim f ( x) = f ( x0 ) , hay f liªn tôc t¹i x0 . x → x0 Chó ý §iÒu kh¼ng ®Þnh ng−îc l¹i cña ®Þnh lý trªn kh«ng ®óng. VÝ dô hµm sè f ( x) = x liªn tôc t¹i 0 nh−ng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i 0 (ThÝ dô 4). ____________ 6.3. C¸c phÐp to¸n c¬ b¶n trªn ®¹o hµm Trong môc nµy ta xÐt mét sè tÝnh chÊt quan träng cña ®¹o hµm. Nhê chóng mµ ta tÝnh ®−îc ®¹o hµm cña nh÷ng hµm sè phøc t¹p th«ng qua ®¹o hµm cña c¸c hµm c¬ b¶n. VÝ dô muèn tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè (1 + x ) 5 ( x 2 + 7 x + 8) 9 f ( x) = , x2 + 7x +1 ta kh«ng cÇn ph¶i dùa vµo ®Þnh nghÜa cña ®¹o hµm vµ t×m giíi h¹n cña biÓu thøc f ( x + ∆x) − f ( x) lim ∆x→0 ∆x mµ chØ cÇn tÝnh ®−îc ®¹o hµm cña ®¬n thøc vµ c¸ch lÊy ®¹o hµm cña tæng, cña th−¬ng,... §ång thêi ta còng tÝnh ®−îc ®¹o hµm cña c¸c hµm l«garit, hµm lòy thõa tæng qu¸t, hµm l−îng gi¸c, hµm l−îng gi¸c ng−îc,... th«ng qua viÖc tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè exp(.), hµm sè sin(.) vµ c¸c quy t¾c lÊy ®¹o hµm cña hµm hîp, hµm ng−îc,... Tr−íc hÕt ta l−u ýNhËn xÐt §¹o hµm cña hµm h»ng (f(x) = c víi mäi x) ®ång nhÊt b»ng kh«ng. Chøng minh cã ngay tõ ®Þnh nghÜa cña ®¹o hµm. 6.3.1. C¸c phÐp to¸n sè häcMÖnh ®Ò NÕu f vµ g lµ cã ®¹o hµm t¹i x0 , th× f ± g , f .g còng cã ®¹o hµm t¹i ®ã vµ (i) ( f ± g ) ( x0 ) = f ( x0 ) ± g ( x0 ), (ii) ( f .g )′( x0 ) = f ′( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g ′( x0 ) . f (iii) NÕu g ( x0 ) ≠ 0 th× còng cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ g f g ( x0 ) f ′( x0 ) − f ( x0 ) g ′( x0 ) ( )′( x0 ) = . g g 2 ( x0 ) Chøng minh (i) Suy ra ngay tõ tÝnh chÊt cña phÐp lÊy giíi h¹n cña tæng (hiÖu). (ii) Ta cã nhËn xÐt sau ®©y f ( x + h).g ( x + h) − f ( x).g ( x) = [ f ( x + h) − f ( x )]g ( x + h) + f ( x )[ g ( x + h) − g ( x ) ]. 10 0 Ch−¬ng 6. §¹o hµm Chia c¶ 2 vÕ cho h råi cho h tiÕn dÇn tíi 0, l−u ý r»ng do tÝnh liªn tôc cña hµm g mµ g(x+h) tiÕn tíi g(x), tõ ®¼ng thøc trªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. (iii) Chøng minh b»ng nh÷ng lËp luËn t−¬ng tù. MÖnh ®Ò ®· ®−îc chøng minh ®Çy ®ñ. HÖ qu¶ 1) NÕu f cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ c lµ h»ng sè, th× cf cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ (cf ) ( x0 ) = cf ( x0 ) . (§©y lµ hÖ qu¶ cña (ii) trong tr−êng hîp g lµ hµm h»ng). 1 2) NÕu g cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ g( x0 ) ≠ 0 , th× còng cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ g ′ 1 g(x )   ( x0 ) = − 2 0 . g   g ( x0 ) (§©y lµ hÖ qu¶ cña (iii) khi f b»ng 1). 6.3.2. §¹o hµm cña hµm hîp Cho f : X → U cã ®¹o hµm t¹i x0 , g : U → Z cã ®¹o hµm t¹i u 0 = f ( xo ) . D−íi ®©y lµ c¸ch tÝnh ®¹o hµm cña hµm hîp g[f(x)] (hay cßn ®−îc ký hiÖu lµ g f ) th«ng qua ®¹o hµm f vµ g.MÖnh ®Ò NÕu u = f (x) cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ y = g (u ) cã ®¹o hµm t¹i u 0 = f ( x0 ) , th× g f còng cã ®¹o hµm t¹i x0 vµ ( g f )′( x0 ) := {g[ f ( x0 )]}′ = g ′(u 0 ). f ′( x0 ) . (VÕ ph¶i lµ: ®¹o hµm cña y theo u nh©n víi ®¹o hµm cña u theo x). Chøng minh Ta chó ý r»ng ...