Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P4

" Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P4" Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học.Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong chương...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P4Ch−¬ng 9. TÝch ph©n x¸c ®Þnh x F ( x) = ∫ f (t )dt . a Hµm nµy x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ U (v× f lµ liªn tôc). 9.4.1. §Þnh lý c¬ b¶n§Þnh lý Hµm sè F ( x) lµ kh¶ vi trªn U vµ F ′( x) = f ( x) . Chøng minh Ta cÇn chØ ra r»ng ∀xo ∈ U F ( x) − F ( xo ) lim = f ( xo ) . x → xo x − xo §Ó ý r»ng: x xo F ( x) − F ( xo ) ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt | − f ( xo ) | = | a a − f ( xo ) | = x − xo x − xo x x x 1 1 = | ∫ f (t )dt − ∫ f ( xo )dt | = ∫ [ f (t ) − f ( xo )]dt | x − xo | xo xo x − xo xo vµ x x | ∫ [ f (t ) − f ( xo )]dt | ≤ | ∫ max f (ζ ) − f ( xo ) dt | = x − xo max f (ζ ) − f ( xo ) ζ ∈[ xo , x] ζ ∈[ xo , x] xo xo Cho nªn F ( x) − F ( xo ) lim − f ( x o ) = lim max f ( ζ ) − f ( x o ) = lim sup f ( x ) − f ( x o ) = 0 x → xo x − xo x → xo ζ∈[ x − xo ] x → xo do f lµ hµm liªn tôc. §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh xong.HÖ qu¶ NÕu f lµ hµm liªn tôc trªn mét kho¶ng th× tån t¹i hµm F x¸c ®Þnh trªn kho¶ng ®ã vµ cã ®¹o hµm lµ f . Chøng minh Suy ra ngay tõ ®Þnh lý trªn. 9.4.2. C«ng thøc Newton-Leibniz §Þnh lý (Newton-Leibniz) NÕu F lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng U ⊂ R vµ cã ®¹o hµm lµ f th× b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a Chøng minh Ta cã150 Ch−¬ng 9. TÝch ph©n x¸c ®Þnh x d ( F ( x) − ∫ f (t )dt ) = f ( x) − f ( x) = 0 . dx a x x nªn F ( x) − ∫ f (t )dt = c . Thay x = a ta cã c = F (a) cho nªn F ( x) = ∫ f (t )dt + F (a ) . a a Tõ ®©y, ta cã ngay ®iÒu cÇn chøng minh. 9.4.3. C«ng thøc ®æi biÕnMÖnh ®Ò Cho U , V lµ c¸c kho¶ng bÊt kú trong , ϕ : U → V lµ hµm kh¶ vi liªn tôc, f :V → lµ hµm liªn tôc. Khi ®ã, ∀a, b ∈ U , b ϕ (b) ∫ f [ϕ (u )]ϕ ′(u )du = ∫ f (v)dv . a ϕ (a) y Chøng minh §Æt F ( y ) = ∫ f (v)dv , ∀y ∈V . Râ rµng F lµ hµm kh¶ vi vµ F ′ = f . ϕ (a) ϕ ( x) Hµm G ( x) = ∫ f (v)dv lµ hîp cña 2 hµm kh¶ vi liªn tôc F vµ ϕ , cho nªn còng lµ ϕ (a) kh¶ vi liªn tôc. Theo quy t¾c lÊy ®¹o hµm cña hµm hîp ta cã: G ′( x) = F ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x) , ∀x ∈U . Nh− vËy x G ( x) = ∫ f [ϕ (u )]ϕ ′(u ) ...