Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán: Phần 2 - Nguyễn Tiến Trung

Tiếp nối phần 1, phần 2 Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán gồm tiểu chủ đề 1.7 và 1.8 của phần cơ sở lý thuyết tập hợp và các tiểu chủ đề của phần cơ sở của logic toán. Giáo trình là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên tiểu học, sinh viên, giảng viên các ngành sư phạm tiểu học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán: Phần 2 - Nguyễn Tiến Trung Tiểu chủ đề 1.7. đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược Thông tin cơ bản 7.1. Đơn ánh Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau: Ví dụ 7.1: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y, g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây: Deleted: Formatted: Heading02, Space Before: 0 pt Formatted: Heading03 Hai ánh xạ f và g được biểu diễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới đây. Hình 2 Ta thấy ba phần tử b, d, e của tập hợp X đều có ảnh qua ánh xạ f là phần tử 2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ba điểm b, d, e của X đều đi đến điểm 2 của Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b, c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh xạ g là những phần tử đôi một khác nhau của tập hợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũi tên từ hai điểm khác nhau của X đi đến hai điểm khác nhau của Y. Nói một cách khác, hai phần tử khác nhau bất kì của tập hợp X có ảnh qua ánh xạ g là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh. Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y, tức là với mọi x , x ∈ X, 1 2 x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2 Hiển nhiên, điều kiện trên tương đương với điều kiện sau: Với mọi x , x ∈ X, 1 2 f(x ) = f(x ) ⇒ x = x 1 2 1 2 Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là một đơn ánh. Ví dụ 7.2 : (i) Ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = x không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1. 2 (ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số nguyên dương m, n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ . (iii) Ánh xạ ϕ : ⏐R →⏐R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤ } thì ánh xạ /A : A → ⏐R, thu hẹp của trên tập con A của ⏐R là một đơn ánh. Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt B = {x ∈⏐R : 0 ≤ x ≤ π} thì ánh xạ /B : B →⏐R, thu hẹp của trên tập con B của ⏐R là một đơn ánh. ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi h(x) = ⏐x⏐ không phải là một đơn ánh nhưng ánh xạ h/R ⏐R, thu hẹp của h trên tập hợp ⏐R các số nguyên không âm R là một đơn ánh. + + + (iv) Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh và A là một tập con của tập hợp X thì ánh xạ f/A : A → Y, thu hẹp của f trên A, là một đơn ánh. 7.2. Toàn ánh Ta trở lại xét hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 2.1. Formatted: Heading03 ảnh của ánh xạ f là f(X) = {1, 2, 3}. Mỗi phần tử 4, 5, 6,7, 8 của Y không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X qua ánh xạ f; f(X) là một tập con thực sự của Y, tức là f(X) ⊂ Y và f(X) ≠ Y. Tương tự, ảnh của ánh xạ g là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mỗi phần tử 2, 5, 8 của Y không nhận một phần tử nào của Y làm ảnh của nó qua ánh xạ g. g(X) cũng là một tập con thực sự của Y. Ta xét một ví dụ khác. Ví dụ 7.3 : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh xạ ϕ : X → Y cho bởi bảng sau: ánh xạ ϕ được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong hình 9 Hình 9 Khác với hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 1, ở đây ảnh của ϕ là ϕ(X) = {M, N, P, Q} = Y. Như vậy mỗi phần tử của Y dều là ảnh của một phần tử nào đó của X qua ánh xạ ϕ. Người ta gọi ánh xạ ϕ là một toàn ánh. Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa ánh xạ f: X → Y được gọi là một toàn ánh nếu ảnh của ánh xạ f bằng tập đến của ánh xạ, tức là: f(X) = Y. Từ định nghĩa của toàn ánh suy ra rằng f : X → Y là một toàn ánh khi và chỉ khi với mỗi y ∈ Y, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y. Hiển nhiên các ánh xạ f và g trong Ví dụ 1 không phải là những toàn ánh. Ví dụ 7.4: (i) Đặt A = {x ⏐R : < x < }. Ánh xạ f : A → ⏐R xác định bởi f(x) = tgx là một toàn ánh vì với mọi y ∈⏐R, tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = tgx = y. (ii) ánh xạ g : ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = ⏐x⏐ không phải là một toàn ánh vì ảnh của ánh xạ là tập hợp g(⏐R) = {⏐x⏐ : x ∈ ⏐R} = ⏐R ; đó là một tập con thực sự của ⏐R. Tuy nhiên ánh xạ ϕ : ⏐R → ⏐R xác định bởi ϕ(x) = ⏐x⏐ là một toàn ánh vì ϕ(⏐R) = ⏐R . + + + (iii) ánh xạ h : ⏐R → ⏐Rxác định bởi h(x) = sinx không phải là một toàn ánh vì h(⏐R) = {sin x : x ∈⏐R} = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1} ≠⏐R. Tuy nhiên, nếu đặt A = {−1 ≤ y ≤ 1} thì ánh xạ ϕ : ⏐R → A xác định bởi ϕ(x) = sin x là một toàn ánh. Toàn ánh f : X Y còn được gọi là ánh xạ từ X lên Y. Chẳng hạn, người ta gọi toàn ánh ϕ : ⏐R →⏐R x → ϕ(x) = ⏐x⏐ là ánh xạ từ ⏐R lên ⏐R hoặc toàn ánh từ X lên Y. + + Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một toàn ánh thì thay tập đến Y bởi ảnh f(X) của f, ta được toàn ánh ϕ : X → f(X), x → ϕ (x) = f(x) từ X lên f(X). 7.3. Song ánh Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y gọi là một song ánh nếu nó vừa là một đơn ánh vừa là một toàn ánh. f là một toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y, tức là với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. Nếu x’ là một phần tử của X sao cho f(x’) = y thì f(x’) = f(x). Vì f là ...