Giáo trình Cơ sở Toán học cao cấp

Mục đích của giáo trình là: Trình bày những khái niệm, những nguyên lý cơ bản và cần thiết nhất của toán học, với những chứng minh chặt chẽ, lôgic; rèn luyện kỹ năng tính toán thực hành trên máy tính và khả năng áp dụng công cụ toán học trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn; giới thiệu một số hướng phát triển mới trong toán học hiện đại đang được quan tâm trên thế giới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Cơ sở Toán học cao cấp Cơ sở toán học cao cấp Lêi giíi thiÖu Do ¶nh h−ëng cña cuéc c¸ch m¹ng th«ng tin vµ do sù ph¸t triÓn néi t¹i cña to¸n häc, viÖc gi¶ng d¹y to¸n bËc ®¹i häc vµ cao häc cã nhiÒu thay ®æi. Xu h−íng chung lµ nhanh chãng cho häc viªn n¾m b¾t ®−îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ to¸n häc vµ kh¶ n¨ng øng dông, ®ång thêi sö dông ®−îc c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n thùc hµnh mét c¸ch thuÇn thôc. §Ó ®¸p øng nhu cÇu ®ã, trªn c¬ së ®Ò tµi khoa häc PhÇn mÒm C¬ së To¸n häc cña Trung t©m Khoa häc tù nhiªn vµ C«ng nghÖ Quèc gia do ViÖn To¸n häc chñ tr× thùc hiÖn tõ n¨m 1996 ®Õn n¨m 1998, chóng t«i biªn so¹n bé gi¸o tr×nh C¬ së To¸n häc Cao cÊp giµnh cho sinh viªn ®¹i häc vµ cao häc. Bé gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n dùa theo néi dung ch−¬ng tr×nh to¸n cao cÊp cña c¸c khoa c¬ b¶n trong c¸c tr−êng ®¹i häc do Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o qui ®Þnh, kÕt hîp víi c¸c gi¸o tr×nh to¸n hiÖn ®ang ®−îc gi¶ng d¹y trong c¸c tr−êng ®¹i häc ë Hµ Néi vµ mét sè n−íc tiªn tiÕn trªn thÕ giíi. Môc ®Ých cña gi¸o tr×nh lµ: 1. Tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm, nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ cÇn thiÕt nhÊt cña to¸n häc, víi nh÷ng chøng minh chÆt chÏ, l« gic; 2. RÌn luyÖn kü n¨ng tÝnh to¸n thùc hµnh trªn m¸y tÝnh vµ kh¶ n¨ng ¸p dông c«ng cô to¸n häc trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n thùc tiÔn; 3. Giíi thiÖu mét sè h−íng ph¸t triÓn míi trong to¸n häc hiÖn ®¹i ®ang ®−îc quan t©m trªn thÕ giíi. §Ó ®¸p yªu cÇu thø nhÊt, chóng t«i chñ tr−¬ng tr¸nh ®−a vµo gi¸o tr×nh nh÷ng phÇn lý thuyÕt nÆng nÒ vµ Ýt sö dông ®Õn sau nµy. PhÇn bµi tËp ®−îc biªn so¹n víi môc ®Ých gióp häc viªn cñng cè kiÕn thøc lý thuyÕt, kh«ng sa vµo nh÷ng kü s¶o tÝnh to¸n phøc t¹p. Môc ®Ých thø hai ®−îc thÓ hiÖn trong gi¸o tr×nh bëi phÇn bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh biªn so¹n rÊt c«ng phu cho tõng ch−¬ng. Nã gióp cho häc viªn tiÕp cËn mét c¸ch nhÑ nhµng vµ tho¶i m¸i víi c«ng viÖc tÝnh to¸n cô thÓ, lÜnh vùc lu«n bÞ xem lµ ®¸ng ng¹i nhÊt ®èi víi c¸c häc viªn bËc ®¹i häc ë n−íc ta x−a i nay. Ng−êi häc kh«ng chØ cã thÓ thö søc víi nh÷ng bµi to¸n th¸ch ®è (®Ó rÌn luyÖn t− duy), mµ cßn biÕt sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i mét c¸ch dÔ dµng nh÷ng bµi to¸n hãc bóa mµ hä t−ëng chõng kh«ng thÓ nµo gi¶i næi. Hi väng r»ng khi ra tr−êng hä sÏ kh«ng cßn ph¶i ng¹i ngïng trong viÖc ®−a c¸c c«ng cô to¸n häc vµo c«ng viÖc cña m×nh. Thùc tÕ cho thÊy, ë ®©u to¸n häc ph¸t huy ®−îc t¸c dông th× ë ®ã th−êng thu ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ bÊt ngê. C«ng cô tÝnh to¸n thùc hµnh giíi thiÖu trong gi¸o tr×nh nµy lµ bé ch−¬ng tr×nh Maple V. §©y lµ bé ch−¬ng tr×nh tæng hîp, kh¸ ®å sé, nh−ng hiÖn nay ®· cã thÓ cµi ®Æt trªn m¸y tÝnh c¸ nh©n víi cÊu h×nh b×nh th−êng (bé nhí tèi thiÓu lµ 8MB). Víi kh¶ n¨ng biÓu diÔn vµ tÝnh to¸n cùc m¹nh (kÓ c¶ trªn c¸c ký hiÖu h×nh thøc), nã hiÖn ®ang ®−îc xem mét trong nh÷ng ch−¬ng tr×nh phæ biÕn nhÊt sö dông trong c«ng t¸c ®µo t¹o ë c¸c tr−êng ®¹i häc trªn thÕ giíi. NÕu sö dông ®−îc Maple mét c¸ch thuÇn thôc th× häc viªn còng dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n phæ biÕn kh¸c nh−: Matematica, Matlab, Mathcad,.. B»ng c¸c h−íng dÉn cô thÓ cho tõng ch−¬ng, gi¸o tr×nh gióp ng−êi ®äc tù m×nh tõng b−íc tiÕn hµnh c«ng viÖc tÝnh to¸n mét c¸ch nhÑ nhµng nh− bÊm m¸y tÝnh bá tói, kh«ng cÇn chuÈn bÞ g× ®Æc biÖt vÒ kiÕn thøc lËp tr×nh. §Ó ®¹t ®−îc môc ®Ých thø ba, chóng t«i ®−a vµo gi¸o tr×nh mét sè ch−¬ng môc kh«ng kinh ®iÓn (kh«ng b¾t buéc ®èi víi häc viªn bËc ®¹i häc), gióp ng−êi ®äc lµm quen víi nh÷ng ý t−ëng míi trong to¸n häc hiÖn ®¹i, khÝch lÖ sù t×m tßi ph¸t triÓn nh÷ng c¸i mµ l©u nay ®−îc xem nh− lµ bÊt di bÊt dÞch trong to¸n häc cæ ®iÓn. PhÇn nµy ch¾c ch¾n sÏ ®em l¹i høng thó vµ nh÷ng gîi ý vÒ mÆt ®Þnh h−íng cho nh÷ng ng−êi cã nguyÖn väng ®−îc ®µo t¹o cao h¬n vÒ to¸n häc, nhÊt lµ nh÷ng häc viªn cao häc. Gi¸o tr×nh nµy còng ®−îc thiÕt lËp d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n, rÊt thuËn tiÖn cho viÖc ®äc vµ tra cøu trªn m¸y tÝnh. PhÇn tÝnh to¸n thùc hµnh ®−îc thùc hiÖn dÔ dµng vµ thuËn tiÖn ngay trong khu«n khæ cña gi¸o tr×nh (häc ®Õn ®©u thùc hµnh ®Õn ®ã), nh»m xo¸ nhoµ ranh giíi gi÷a häc to¸n vµ lµm to¸n. B¹n ®äc cã nhu cÇu vÒ gi¸o tr×nh d−íi d¹ng siªu v¨n b¶n vµ thùc hµnh tÝnh to¸n trªn Maple V xin liªn hÖ víi c¸c t¸c gi¶ theo ®Þa chØ cña ViÖn To¸n häc (§−êng Hoµng Quèc ViÖt, QuËn CÇu GiÊy, Hµ Néi). ii Trcña c¸c t¸cnµy chóng t«i giíi thiÖu víi b¹nbiªn),cuèn Ph¹mtÝch I ong phÇn ®äc Gi¶i gi¶ : Ts. §inh ThÕ Lôc (chñ Ts. Huy §iÓn, Ts. NguyÔn Xu©n TÊn, Pts. T¹ Duy Ph−îng. Néi dung quyÓn s¸ch bao gåm nh÷ng kiÕn thøc ®ßi hái häc viªn ph¶i n¾m ®−îc vÒ bé m«n Gi¶i tÝch trong n¨m thø nhÊt bËc ®¹i häc. Trong Ch−¬ng 1 chóng t«i kh«ng tr×nh bÇy chi tiÕt vÒ x©y dùng tr−êng sè thùc (®Ó kh«ng lµm l¹i phÇn viÖc cña nh÷ng ng−êi biªn so¹n gi¸o tr×nh Sè häc), mµ chØ sö dông l¸t c¾t ®Ó chøng minh sù tån t¹i biªn cña tËp bÞ chÆn, mét tÝnh chÊt quan träng ®−îc dïng nhiÒu ...