Giáo trình Phép tính vi phân

Giáo trình Phép tính vi phân gồm có 2 chương, cung cấp cho người học những kiến thức về dãy số và giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân cấp một, các định lý cơ bản của hàm khả vi, đạo hàm và vi phân cấp cao, công thức Taylor, một số ứng dụng của phép tính vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Phép tính vi phân Mục lục1 Giới hạn hàm và hàm liên tục 3 1.1 Dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Phép tính vi phân hàm một biến 17 2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Các định lý cơ bản của hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Một số ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . 23 12 Chương 1 Giới hạn hàm và hàm liên tục Phép tính vi tích phân (còn gọi là Calculus) nghiên cứu sự thay đổi củavật thể theo thời gian, nó cũng nghiên cứu quá trình một dãy các đại lượngtiệm cận tới một đại lượng khác. Mục đích chính là cố gắng tiếp cận một đạilượng chưa biết bởi một dãy các đại lượng đơn giản hơn mà ta đã biết rất rõtừ trước. Để từ đó rút ra những thông tin quan trọng của đại lượng chưa biết.Để thấy được điều này chúng ta sẽ nói sơ qua một số bài toán đã được giảiquyết theo cách ở trên.1.Tính diện tích hình tròn đơn vị: Giả sử ta phải tính diện tích của hìnhtròn đơn vị (hình tròn có bán kính bằng 1). Bằng cách nội tiếp trong hình trònđó một dãy các đa giác đều n cạnh với n càng ngày càng lớn. Bằng một số kỹthuật tính toán sẽ học về sau thì ta sẽ thấy diện tích của các đa giác đều nàysẽ tiệm cận tới π. Một cách tự nhiên ta sẽ thừa nhận π là diện tích của hìnhtròn.2. Vẽ tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số: Giả sử trên mặt phẳngOxy có đồ thị hàm số y = x2 . Cho trước một điểm a = (1, 1) nằm trên đồ thịnày. Vấn đề đặt ra là hãy vẽ một đường thẳng đi qua điểm a và tiếp xúc tạiđồ thị trên tại chính điểm a đó. Cách tự nhiên là ta xét một dãy các điểm annằm trên đồ thị và càng ngày cáng sát lại điểm a. Qua a và an sẽ có 1 đườngthẳng chạy qua. Ta sẽ coi tiếp tuyến cần tìm chính là giới hạn của các đườngthẳng này.Chúng ta sẽ bắt đầu với những khái niệm rất cơ bản liên quan tới dãy số vàsau đó tiếp cận những đối tượng trung tâm của môn học là hàm số và giới hạnhàm.1.1 Dãy số và giới hạn dãy sốKhái niệm về dãy số không phải là mới nhưng bây giờ chúng ta sẽ làm quenvới một khía cạnh mới của dãy số dùng để mô tả dáng điệu của những phầntử của này tại điểm xa vô tận.1.1.1 Định nghĩa dãy số: Dãy số là một qui tắc ứng một số tự nhiên 3với một số thực. Nếu viết chính xác thì một dãy số là một tậ hợp có dạnga1 , a2 , . . . , an , . . ., hay còn được viết {an }n≥1 .Khái niệm quan trọng nhất gắn liền với một dãy số là giới hạn của dãy số.1.1.2. Định nghĩa giới hạn Dãy số a1 , a2 , . . . , an , . . . được gọi là hội tụ tớigiới hạn l nếu với mọi ε > 0 tồn tại N sao cho |an − l| < ε với mọi n > N. Điều này có nghĩa là với bất kỳ một đoạn thẳng cho trước chứa a thì đếnmột lúc nào đó, toàn bộ dãy số trên sẽ rơi vào đoạn thẳng đó. Trong trường hợp này ta viết an → a hay đầy đủ hơn là lim an = a. n→∞ Đương nhiên cũng có những dãy số không hội tụ chẳng hạn an = 1 khin lẻ và an = −1 khi n chẵn. Hoặc đơn giản hơn ta thấy dãy các số tự nhiênan = n cũng không hôi tụ.1.1.3. Hai ví dụ quan trọng về dãy số hội tụ: 1(a) an = n . Khi đó {1, 1/2, 1/3, · · · } hội tụ về 0 khi n → ∞.(b) an = 2 + · · · + 21 . Khi đó an = 1 − 21 hội tụ về 1 n → ∞. 1 n nMột vấn đề nảy sinh là khi nào một dãy là hội tụ? Nếu dãy hội tụ thì tính giớihạn như thế nào? Ta có câu trả lời cho câu hỏ dễ hơn đó là: Khi nào một dãysố không hội tụ.Mệnh đề về điều kiện cần cho dãy hội tụ. (i) Dãy số {an } không hội tụnếu nó không bị chặn, tức là với mọi số tự nhiên N ta luôn tìm được phần tửam sao cho |am | > N.(ii). Dãy số {an } không hội tụ nếu dãy này chứa hai dãy con {ank } và {amk }hội tụ đến hai giới hạn khác nhau. Ta thường áp dụng mệnh đề trên để chỉ ra một dãy là không hội tụ.Ngoài dãy số hội tụ, ta cũng quan tâm tới khái niệm sau:Giới hạn bằng vô cùng. Ta nói dãy số an có giới hạn bằng vô cùng (viết lim an = ∞) nếu với mọi số nguyên N c ...