Giáo trình Tôpô đại cương

Giáo trinh "Tôpô đại cương" trình bày những khái niệm cơ bản của Tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng phôi giữa các không gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian tôpô như không gian compắc, không gian liên thông, không gian mêtric,…. Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân, Tôpô đại số, Hình học vi phân,…. Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Tôpô đại cương TS. Nông Quốc Trinh Tôpô Đại Cương NXB Đại Học Sư Phạm www.VNMATH.com Lời nói đầu Giáo trinh Tôpô đại cương trình bày những khái niệm cơ bản của Tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng phôi giữa các không gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian tôpô như không gian compắc, không gian liên thông, không gian mêtric,…. Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân, Tôpô đại số, Hình học vi phân,…. Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên năm thứ 3 hệ Cử nhân ngành Toán và sinh viên hệ Sau đại học ngành Toán của khoa toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Giáo trình bao gồm 4 chương, trong mỗi chương có nêu nhiều ví dụ minh hoạ và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải. Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn đọc. TÁC GIẢ 1 www.VNMATH.com Chương 0 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ §1. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỌP 1 Giao, hợp, hiệu Đối với các tập con A, B, C của tập hơp X ta có: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), X \ (A ∪ B) = (X \ A ) ∩ (X \ B), (Công thức De Morgan) X \ (A ∩ B) - (X \ A) ∪ (X \ B), (Công thức De Morgan) A \ B = A ∩ (X \ B), (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C), X \ (A \ B) = B ∪ (X \ A). Giả Sử (Ai)i ∈ I và (Bk)k ∈ K là hai họ những tập con tùy ý của tập hơp X. Khi đó: 2 www.VNMATH.com (Công thức De Morgan mở rộng) (Công thức De Morgan mở rộng) 2. Tích Đềcác Giả sử, X và Y là những tập hợp, XxY là tích Đềcác của chúng. Với U1, U2 ⊂ X và V1, V2 ⊂ Y ta có: 3. Ánh xạ Cho ánh xạ f : X → Y. Đối với bất kỳ A, B ⊂ X ta có: Giả sử (Ai)i ∈ I là họ những tập con tùy ý của tập hợp X. Khi đó: Đối với bất kỳ M, N ⊂ Y ta có: 3 www.VNMATH.com Giả sử (Mi)i ∈ I là họ những tập con tùy ý của tập hợp Y. Khi đó: §2. QUAN HỆ THỨ TỰ Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự nếu các điều kiện sau thỏa mãn: a) Phản xạ: x ≤ x , ∀x ∈ X. b) Phản đối xứng: ∀x, y ∈ X, nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y. c) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X, nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z. Tập hợp X đã trang bị một quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập sắp thứ tự. Nếu x ≤ y, ta nói x đứng trước y, hay x nhỏ hơn hoặc bàng y. Khi x ≤ y và x ≠ y, ta sẽ viết x < y. Ta nói hai phần tử x và y trong X là so sánh được nếu x ≤ y hoặc y ≤ x. Cho X là tập sắp thứ tự. Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực tiểu (tương ứng cực đại) trong X, nếu ∀X ∈ X, điều kiện x ≤ a (tương ứng a ≤ x) kéo theo x = a. Trong một tập sắp thứ tự không nhất thiết phải luôn có phần tử cực tiểu (cực đại), và cũng có thể có nhiều phần tử cực tiểu (cực đại) khác nhau. 4 www.VNMATH.com Giả sử A ⊂ X. Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới (tương ứng cận trên) của tập A, nếu ∀x ∈ A, ta luôn có a ≤ x (tương ứng x ≤ a). Nếu tập con A ⊂ X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì ta nói A bị chặn dưới (tương ứng chặn trên). Tập A được gọi là bị chặn (hay giới nội) nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên. Ta ký hiệu DA là tập tất cả các cận dưới của A, ký hiệu TA là tập tất cả các cận trên của A. Nếu DA ≠ ∅ và a0 ∈ DA thỏa mãn a ≤ a0 ∀a ∈ DA. thì a0 được gọi là cận dưới đúng của tập A, ký hiệu là a0 = infA. Tương tự, nếu TA ≠ ∅ và a0 ∈ TA thỏa mãn ao ≤ a, ∀a ∈ TA thì a0 được gọi là cận trên đúng của tập A, ký hiệu là a0 = supA. Phần tử x0 ∈ A được gọi là phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu ∀X ∈ A luôn có x0 ≤ x (tương ứng x ≤ x0). Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu ∀x,y ∈ X thì x ≤y hoặc y ≤ x. Khi đó ta cũng nói ≤ là quan hệ thứ tự toàn phần trên X. Giả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a,b ∈ X tùy ý, a ≤ b. Ta ký hiệu: [a, b] = {x ∈ X |a ≤ x ≤ b}, và gọi là khoảng đóng với đầu mút trái là a, đầu mút phải là b. [a, b) = { x ∈ X |a ≤ x ≤ b } , và gọi là khoảng mở bên phải, đóng bên trái. (a,b] = { x ∈ X |a < x ≤ b } , và gọi là khoảng đóng bên phải, mở bên trái. (a,b) = { x ∈ X |a< x < b } , và gọi là khoảng mở trong X. Tập sắp thứ tự toàn phần X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Tập hợp tất cả các tập 5 www.VNMATH.com con sáp thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao hàm là một tập ...