Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 - TS. Nguyễn Bá Đức

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: phân bố gibbs; phân bố maxwell-boltzmann; phân bố fermi-dirac; phân bố bose-einstein; quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển; quá trình không cân bằng theo lý thuyết lượng tử; phương pháp toán tử sinh hạt và hủy hạt. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 - TS. Nguyễn Bá Đức Chương 5 PHÂN BỐ GIBBS 5.1 Phân bô chính tắc Gibbs 5.1.1 Nguyên lý đảng xác suất, phản bố không chính tác Khi hệ cô lập ớ trạng thái cân bằng nhiệt động thì các trạng thái vi mô cấu thành hệ có nãng lượng thỏa mãn hệ thức: En e [ E . E + ỐE} (5.1) Tổng số các trạng thái lượng tử thỏa mãn điều kiện (5.1) gọi là trọng sô' thống kê của hệ cô lập. Nguyên lý đáng xác suất: Khi hệ cồ lập ớ trong trạng thái cân bằng nhiệt động thì mọi trạng thái vi mõ khá dĩ đểu có xác suất như nhau. Hệ thức mô tá nguyên 78 Vật lỷ thõng kẽ 79 lý dẳng xác suảt có dạng: 1 -U = —= = const -, AT Trong hệ thúc (5.2) *•, là xác suất của trạng thái vi mò thứ I. AF là trọng số thóns kẽ của hệ. Xét một tham số nhận nhữns giá trị rùy thuộc từng trạng thái vi mô của hệ và ngẫu nhiên thì xác suảt của tham số thứ I sẽ là: Õ .3i trons đó T là tham số. Ar, là ưọng số thống kẽ của trạns thái vi mò trong trọns số thống kẽ A r của cả hệ. Vì A r = const nên (5.3) có the viết lại thành: (5.4) Như vậy. xác suát £Ĩá trị T ị của tham so J- ti lệ với số trạns t h á i VI mò cho phép J nhận giá trị này. Biểu thúc (5.2) và (5.4) gọi là biếu thúc phân bõ khòng chính tắc. 5.1.2 Phàn bò' Gibbs Trong thục tế. các hệ vĩ mỏ đều là các hệ mở. vì thế hẽ kháo sát được coi là hệ con trong hệ cò lập bao gồm cá vũ trụ. Khi càn bans nhiệt dộng, nãng lượng của hệ cô lập là Eo = const với độ chính xác 6E. Bài toán đặt ra là xác định Tác suất để hệ con trong trạng thái VI mô với nãna lượng Et. Khi hệ con cân bang với môi trườn 2. ta có: Et ~ E n = Eũ = const 80 Vật lý thống tó Trong đó En là năng lượng của môi trường ngoài. Nếu Ei « En và dĩ nhiên E n < Eo ta có: Et « Eo (5.6) Theo nguyên lý đẳng xác suất thì xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng Et của hộ con tí lệ với số trạng thái lượng tử tưng ứng của môi trường. Ký hiệu A r(E t) là sô' trạng thái lượng tử tương ứng, uiị(Eị) là xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng E ị, ta có: Ut(E>) ~ A r {En) - A T ( E 0 - Et) (5.7) Nếu môi trường có entropi là s ta có: A r(£ũ - E t ) = exp | Ì ố ’(Eo - E t ) | (5.8) Trong (5.8) S(Eo — Et) là giá trị entropi của môi trường ứng với năng lượng ngoài E n. Từ (5.7) và (5.8) ta có: u)t { E t ) ~ ex p ị^ ò X E o - E ,) j (5.9) Theo (5.6) ta có thể khai triển: ò '(£ o - E ,) * A '( ío ) - =s( E„ ) - ậ (5.10) \ 71 / E n =Eo với ^ l à nghịch đảo nhiệt độ của môi trường và nhiệt độ này xấp xỉ bằng nhiệt độ khi En = E0 — E). Thay (5.10)vào (5.9) và Vật lý thống kẽ 81 chú ý S(Eo) là hằng số, ta được: „ ,(£ ,) ~ e x p Ị ^ - ậ Ị ~ e x p j - |ì j = /le x p Ị - ^ Ị (5.11) Hệ sô' tỉ lệ A được chọn sao cho Uị{Eị) thỏa măn điều kiện chuẩn hóa Y^ịUị{Et) = 1. Từ đó ta có hệ thức xác định hằng số A: A E '“ P{ - ế } = 1 - A■' = E ' “ P { - ệ f } Gọi số trạng thái lượng tử có chung năng lượng Eị là m ( E t), ta có: A~l = £ e x p | - | i j = ] T m ( E , ) e x p | - - ^ j = z (5.12) Hệ thức (5.12) xác định tổng thống kê của hệ và z là ký hiệu của đại lượng tổng thống kê. Từ đó, hệ thức (5.11) được viết lại dư # dạng: aJt{Et) = ^ ex p Ị - ^ l (5.13) Biểu thức (5.13) gọi là biểu thức phân bố chính tắc Gibbs. Phàn bố chính tắc Gibbs xác định xác suất trạng thái lượng tứ của mọi hệ con có năng lượng E t khi hộ này ở trạng thái cân bằng nhiệt động với mòi trường. Hàm phân bố Gibbs cho thấy khi năng lượng Eị tăng thì xác suất UỈỊ giảm theo qui luật hàm mũ. Đồng thời, từ phân bố Gibbs ta cũng tính được các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý đặc trưng cho hộ vĩ mõ. I 82 Vậ/ lý thống tí 5.2 Phân bô Gibbs cổ điển iH k 5.2.1 Điều kiện áp dụng phép gần đúng cổ điển Trong những điều kiện nhất định ta có thể mô tả hệ bằng cơ học cổ điến thay cho cơ học lượng tử. Trong trường hợp này trạng thái vi mô của hệ ứng với điểm pha (p , q) trong không gian pha. Nếu u(p, q) ỉà hàm phân bố xác suất thì xác suất để điểm pha của hệ nằm trong yếu tố pha thể tích dpdq chứa điểm (p , q) là u(p, q)dpdq. Nghĩa là chúng ta thực hiện phép chuyển gần đúng: u,{Eị) -* u ( p , q)dpdq (5.14) Điều kiện cho phép chuyển này là điều kiện áp dụng cơ học cổ điển cho hệ vĩ mô. Mỗi hạt vật chất trong hệ cô lập có năng lượng £, xung lượng P tuơiìg ứng với một sóng Đơbrơi có tần số u và vectơ sóng k được xác định theo các hệ thức £ = hu, trong đó h là hằng số Planck. Bước sóng A được viết theo hệ thức liên hệ với xung lượng p với p = y/ĩrnẽ. ta có: ...