Giáo trình Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Phần 2 của giáo trình "Xử lý tín hiệu số" tiếp tục cung cấp cho học viên những nội dung về: phân tích tần số của tín hiệu; tần số tín hiệu rời rạc; lấy mẫu tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số; biến đời Fourier rời rạc; biểu diễn, phân tích hệ thống rời rạc trong miền tần số;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh CHƯƠNG III PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 3.1 MỞ ĐẦU Phân tích tần số (còn gọi là phân tích phổ) của một tín hiệu là một dạng biểu diễn tín hiệu bằng cách khai triển tín hiệu thành tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu hình sin hay hàm mũ phức. Cách khai triển này rất quan trọng trong việc phân tích hệ thống LTI, bởi vì đối với hệ thống này, đáp ứng của một tổ hợp tuyến tính các tín hiệu hình sin cũng là tổ hợp tuyến tính các tín hiệu hình sin có cùng tần số, chỉ khác nhau về biên độ và pha. Công cụ để phân tích tần số một tín hiệu là chuổi Fourier (cho tín hiệu tuần hoàn) và biến đổi Fourier (cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn). 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC Khái niệm tần số của tín hiệu tương tự rất quen thuộc đối với chúng ta. Tuy nhiên, khái niệm tần số của tín hiệu rời rạc có một số điểm cần lưu ý. Đặc biệt, ta cần làm rõ mối quan hệ giữa tần số của tín hiệu rời rạc và tần số của tính hiệu liên tục. Vì vậy, trong mục này ta sẽ khởi đầu bằng cách ôn lại tần số của tín hiệu liên tục tuần hoàn theo thời gian. Mặt khác, vì tín hiệu hình sin và tín hiệu hàm mũ phức là các tín hiệu tuần hoàn cơ bản, nên ta sẽ xét hai loại tín hiệu nầy. 3.2.1. Tín hiệu tương tự tuần hoàn theo thời gian Một dao động đơn hài (simple harmonic) được mô tả bỏi một tín hiệu tương tự (liên tục) hình sin: xa(t) = Acos(Ωt+θ ) với -∞ < t < ∞ (3.1) Trong đó, A là biên độ; Ω là tần số góc (rad/s); θ là pha ban đầu (rad). Ngoài ra, với ký hiệu: F là tần số (cycles/second hay Hertz) và Tp là chu kỳ (second), ta có:  = 2F = 2/Tp (3.2) Tín hiệu liên tục hình sin có các tính chất sau: 1) Với mỗi giá trị xác định bất kỳ của F hay Tp , xa(t) là một tín hiệu tuần hoàn. Thật vậy, từ tính chất của các hàm lượng giác, ta chứng minh được: xa(t + Tp) = xa(t). F được gọi là tần số cơ bản (fundamental frequency) và Tp là chu kỳ cơ bản (fundamental period) của tín hiệu liên tục. F và Tp có thể có các giá trị không giới hạn (từ 0 đến ∞ ). 2) Các tín hiệu liên tục hình sin có tần số cơ bản khác nhau luôn phân biệt với nhau. 3) Khi tần số F tăng thì tốc độ dao động của tín hiệu tăng, nghĩa là có nhiều chu kỳ hơn trong một khoảng thời gian cho trước. Ta cũng có thể biểu diễn một tín hiệu hình sin bằng hàm mũ phức: xa(t) = Aej(T+) (3.3) Ta có thể thấy được mối quan hệ này qua các công thức Euler: e j  cos   j sin   1 j j   j cos   2 (e  e ) e  cos   j sin    (3.4)  e j  e  j sin   1 (e j  e j )   2 Theo định nghĩa, tần số là một đại lượng vật lý dương, bởi vì tần số là số chu kỳ trên một đơn vị thời gian. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, để thuận tiện về mặt toán học, khái niệm tần số âm được thêm vào. Để rõ hơn, pt(3.1) được viết lại: A j ( t  ) A ( t  ) Xa(t)=Acos( t   )  e  e (3.5) 2 2 Ta thấy, tín hiệu hình sin có thể thu được bằng cách cộng hai tín hiệu hàm mũ phức liên hợp có cùng biên độ, còn được gọi là phasor. Hình 3.1 biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng phức, 2 đại lượng phasor quay quanh góc tọa độ theo hai chiều ngược nhau với các vận tốc góc là ±Ω(rad/s). Vì tần số dương tương ứng với chuyển động quay đều ngược chiều kim đồng hồ, nên tần số âm tương ứng với chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ. Để thuận tiện về mặt toán học, ta sử dụng khái niệm tần số âm, vì vậy khoảng biến thiên của tần số sẽ là -∞ < F < ∞. Hình 3.1. Biểu diễn bằng đồ thị của Xa(t) 3.2.2. Tín hiệu rời rạc tuần hoàn hình sin Một tín hiệu rời rạc hình sin được biểu diễn bởi: x(n) = Acos(ωn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.6) So sánh với tín hiệu liên tục, ta thấy t được thay bởi biến nguyên n, gọi là số mẫu (sample number); tần số góc Ω (rad/second) được thay bằng ω(rad/sample); pha và biên độ giống như tín hiệu liên tục. Gọi f là tần số của tính hiệu rời rạc, ta có: ω = 2πf (3.7) Pt(3.6) trở thành: x(n) = Acos(2πfn+θ ) với -∞ < n < ∞ (3.8) Tần số f có thứ nguyên là chu kỳ/mẫu (cycles/sample). Tín hiệu hình sin có tần số ω = π/6 radians/sample (f =1/12 cycles/sample) và pha ban đầu ω=π/3 rad được biểu diễn bằng đồ thị hình 3.2.   Hình 3.2. Tín hiệu rời rạc hình sin x(n) = 2sin  n  6 3 Khác với tín hiệu tương tự, tín hiệu rời rạc hình sin có các thuộc tính như sau: 1. Một tín hiệu rời rạc hình sin là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tần số f của nó là một số hữu tỉ. Từ định nghĩa, một tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) nếu và chỉ nếu x(n+N) = x(n) với mọi n, giá trị nhỏ nhất của N thỏa điều kiện này được gọi là chu kỳ cơ bản. Để một tín hiệu hình sin có tần số f0 là tuần hoàn chúng ta phải có: cos[2f0(N + n) + ] = cos(2f0 n + ) Quan hệ này chỉ đúng nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên k sao cho: 2f0N = 2k hay f0 = k/N (3.9) Theo pt(3.9), một tín hiệu hình sin rời rạc chỉ tuần hoàn khi chỉ khi f0 là tỉ số của hai số nguyên, hay nói cách khác f0 là một s ...