HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán hình học về hai mặt phẳng vuông góc
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Chủ đề 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓCI.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN:A.Kiến thức cơ bản:1.Góc giữa hai mặt phẳng:a)Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuônggóc với 2 mặt phẳng đó.* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2mặt phẳng đó bằng 0o.b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau: Cho (P) ∩ (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c Trong (P) qua I kẻ a ⊥ c.Trong (Q) qua I kẻ b ⊥ c. Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b).c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos ϕ . Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuônggóc của đa giác đó trên (Q), ϕ = góc ((P), (Q)).2.Hai mặt phẳng vuông góc:a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúngbằng 90o. + Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P) ⊥ (Q) hay (Q) ⊥(P).b)Tính chất :* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng nàychứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Tóm tắt : (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ ( P) : a ⊥ (Q) .* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trongmặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), (P) ∩ (Q) = c, a ⊂ ( P), a ⊥ c ⇒ a ⊥ (Q)* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thìđường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), A ∈ ( P), A, a ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ ( P)* Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vuông góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyếncủa chúng vuông góc với mặt phẳng đó . Tóm tắt: (P) ∩ (Q), ( P) ⊥ ( R), (Q) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R)* Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặtphẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P). Tóm tắt: a ⊥ ( P) ⇒ ∃!(Q) ⊃ a, (Q) ⊥ ( P)3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:a)Hình lăng trụ đứng:* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông gócvới mặt đáy.b)Hình lăng trụ đều:* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhauvà vuông góc với mặt đáy .c)Hình hộp đứng:* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.d)Hình hộp chữ nhật:* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.e)Hình lập phương :* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằngnhau.4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:a)Hình chóp đều:* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giácđều và các cạnh bên bằng nhau.* Nhận xét: + Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hìnhchóp. + Một hình chóp là hình chóp đều ⇔ đáy của nó là đa giác đều và chânđường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy. + Một hình chóp là hình chóp đều ⇔ đáy của nó là đa giác đều và các cạnhbên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau.b)Hình chóp cụt:* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.* Nhận xét: + Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau. + Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. + Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.B.Kĩ năng cơ bản:1. Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông gócvới mặt phẳng kia.2. Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng Phương pháp: Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳngII.CÁC VÍ DỤ:1/ Loại toán tự luận:Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC). Trong tam giác ABC vẽ cácđường cao AE và CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâmScủa tam giác SBC.CMR: a) S, H, E thẳng hàng b) (SBC) ⊥ (SAE), (SBC) ⊥ (CFH). c) OH ⊥ (SBC). Giải: a)+ SA ⊥ (ABC), AE ⊥ BC ⇒ SE ⊥ BC H (Theo định lí 3 đường vuông góc)Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên A CS, H, E thẳng hàng b)* Ta có : BC ⊥ AE, BC ⊥ SE F O E c) ⇒ BC ⊥ (SAE)Mà BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAE). B * Vì SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ CF và AB ⊥ CF ⇒ CF ⊥ ( SAB) ⇒ CF ⊥ SBMặt khác do H là trực tâm tam giác SBC ⇒ CH ⊥ SBTừ đó suy ra SB ⊥ (CFH), mà SB ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ (CFH ) d)Theo chứng minh trên ta có:+ BC ⊥ (SAE), OH ⊂ ( SAE ) ⇒ BC ⊥ OH+ SB ⊥ (CFH), OH ⊂ (CFH ) ⇒ SB ⊥ OHMà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC) → OH ⊥ (SBC).Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB làtam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a)CMR: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC). b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minhrằng (SHC) ⊥ (SDI). S t Giải:a)* Gọi H là trung điểm của AB.- Vì SAB là tam giác đều ⇒ SH ⊥ AB.Do (SAB) ⊥ (ABCD),(SAB) ∩ (ABCD) = AB B I⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD (1) C- Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD (2) H- Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ (SAB).Mà AD ⊂ (SAD). Vậy (SAD) ⊥ (SAB) D * Lập luận tương tự ta có (SBC) ⊥ (SAB)b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) ...