HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG

Hệ phương trình đối xứng là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông. Đề tài đã hệ thống hoá được phương pháp giải hệ phương trình đối xứng chứa tham số và không chứa tham số đồng thời đưa ra một số dạng phương trình giải bằng cách biến đổi về hệ phương trình đối xứng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG SYSTEM OF SYMMETRIC EQUATIONS AND ITS APPLICATION SVTH: Đinh Thị Bích Ngân Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm GVHD: ThS. Phan Thị Quản Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm TÓM TẮT Hệ phương trình đối xứng là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán trung h ọcphổ thông. Đề tài đã hệ thống hoá được phương pháp giải hệ phương trình đối xứng chứa thamsố và không chứa tham số đồng thời đưa ra một số dạng phương trình giải b ằng cách biến đổi vềhệ phương trình đối xứng. ABSTRACT System of symmetric equations is an important problem in Maths program at High school.This subject systematizes the solving method to system of symmetric equations containingparameters or no parameters and provides some forms of equations solved by changing to thesystem of symmetric equations.1. Mở đầu Hệ phương trình là phần kiến thức bắt buộc trong chương trình phổ thông, là mộtdạng toán không thể thiếu trong các đề thi môn Toán. Hệ phương trình đối xứng là mộtdạng đặc biệt của hệ phương trình. Đã có rất nhiều nghiên cứu về hệ phương trình đốixứng song các nghiên cứu vẫn còn thiếu tính hệ thống và có phần chưa đầy đủ. Mặc kháccác nghiên cứu cũng chưa đưa ra được hướng giải quyết cụ thể cho bài toán về hệ phươngtrình đối xứng có tham số. Đề tài “Hệ phương trình đối xứng và ứng dụng” đã khắc phụcđược những yếu điểm nói trên, hệ thống hoá sâu sắc các phần kiến thức liên quan đến hệphương trình đối xứng và ứng dụng của nó. Điều đó được thể hiện qua các ví dụ được trìnhbày rõ ràng, logic, mạch lạc trong nội dung của đề tài.2. Hệ phương trình đối xứng và phương pháp giải hệ phương trình đối xứng2.1. Hệ phương trình đối xứng loại I, hai phương trình hai ẩn2.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn x và y là hệ gồm các phươngtrình không thay đổi khi ta thay x bởi y, y bởi x.2.1.2. Phương pháp giải f ( x, y ) 0, f ( x, y ) f ( y , x ), (I) với g ( x, y ) 0, g ( x, y ) g ( y , x ). Để giải (I) ta tiến hành các bước sau: 448 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 F ( S , P ) 0, x y S, 2+ Bước 1: Đặt (S - 4P 0), hệ đã cho tương đương với hệ G ( S , P ) 0, (I’) xy P, S 2 4P 0.+ Bước 2: Giải hệ (I’). Gọi nghiệm của hệ (I’) là ( S0 , P0 ) .+ Bước 3: x, y là nghiệm của phương trình: X 2 0 . Phương trình này luôn có S0 X P0nghiệm vì S0 , P0 đã thoả mãn được điều kiện S02 4 P0 0.2.2. Hệ phương trình đối xứng loại II, hai phương trình hai ẩn2.2.1. Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn x, y là hệ nếu đổi vai tròcủa x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ.2.2.2. Phương pháp giải f ( x, y ) 0, (1) (II) f ( y, x) 0. (2) Để giải hệ phương trình (II) ta tiến hành các bước: f ( x, y ) 0, + Bước 1: Trừ hai phương trình cho nhau đưa về hệ phương trình (x y ) g ( x, y ) 0. x y, g ( x, y ) 0, + Bước 2: Hệ (II’) tương đương với tuyển: ( II ) ( II ) f ( x, y ) 0, f ( x, y ) 0, + Bước 3: Giải từng hệ của tuyển rồi kết luận nghiệm của hệ (II).2.3. Một số phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng: Các phương pháp khác để giải hệ phương trình đối xứng là: phương pháp đặt ẩnphụ, phương pháp đánh giá và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.3. Giải hệ phương trình đối xứng có tham số3.1. Hệ phương trình đối xứng loại I3.1.1. Điều kiện có nghiệmXét hệ phương trình: f m ( x, y) 0, f m ( x, y) f m ( y, x), (IV) với m là tham số và ta đã có được gm ( x, y) 0, gm ( x, y) g m ( y, x).Để tìm điều kiện có nghiệm của hệ (IV) ta tiến hành các bước sau: + Bước 1: Đặt điều kiện của bài toán (nếu có). + Bước 2: Đặt S xy với điều kiện S 2 4P 0 . x y, P + Bước 3: Thay S, P vào hệ phương trình (IV). Giải hệ ẩn (S, P) theo m giả sử đượcnghiệm ( S0 (m), P0 (m)) . Giải bất phương trình S02 (m) 4 P0 (m) 0 rồi kết hợp điều kiệnđầu bài ta có được kết quả của bài toán. ...