Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 2

Phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 3 đến chương 6. Chương ba nói về nội dung và hình thức. Chương bốn giành cho cặp phạm trù bản chất và hiện tượng cùng với các cặp phạm trù có liên quan là vận động và đứng im, ngẫu nhiên và tất nhiên. Chương năm nói về cặp phạm trù chủ quan và khách quan. Chương sáu đề cập đến suy diễn và quy nạp, phân tích và tổng hợp, cụ thể và trừu tượng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 2 CHUÔNG BA NỘI DUNG VÀ HÌNH THỨC 3.1. Cùng một nội dung có thể chứa trong nhiều hìnhthức khác nhau: Trong, toán học hiện đ ạ i , phương p h á p tiên đề đ ã trờ thànhmột vãn phong để trình bày các lí thuyết toán học. M ỗ i hệ tiên đ ếcó nhiều m ô hình. M ỗ i mô hình là một hình thức chứa đựng n ộ idung hàm ẩn trong hệ tiên đề. Gần gũi nhất đ ố i v ớ i m ọ i n g ư ờ i là haim ô hình của hình học ơ c l i t rất phổ biến trong các nhà trường: hìnhhọc tổng hảp với các hình và những suy diễn trên các hình đ ó đ ểtìm ra các tính chất của chúng; hình học g i ả i tích với các toa đ ộ , cácphương trình, các bất phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thứcnhờ đ ó m à ta đi sâu vào các tính chất của k h ô n g gian ơ c l i t . R õ ràngđ ó là hai hình Ì hức khác nhau cùng chứa đựng một n ộ i dung là hìnhhọc ơ c l i t . Hình học Lôbasepki cũng có nhiều m ô hình k h á c nhautrong đ ó hai m ô hình quen thuộc nhất là m ô hình Poăngcarê và m ôhình Kêli-Clanh. M ô hình thứ nhất do nhà toán học Pháp Poăngcarê(Henri - Poincaré 1854 - 1912) đổ xướng; trong m ô hình này, n g ư ờ ita chọn trong không gian ơclit một mặt phảng hoặc một mặt cầu svà phần không gian ở một phía của mật phảng (hay ở trong mặtcầu) S; m ỗ i điểm ơclit ở phần không gian ơ c l i t đó, là một đ i ể mLôbasepki; m ỗ i chỏm cầu (hay nửa mặt p h ă n g ) ơ c l i t trong phầnkhông gian đ ó , có biên nằm trên s và trực giao với s là một mặtphảng Lôbasepki; m ỗ i cung tròn (hay nửa đường thẳng) ơ c l i ttrong phần không gian đó có các đầu mút trên s và trực giao với s làmột đường thẳng Lôbasepki (h. 23). Các tương quan liên thuộc vàthứ tự Lôbasepki đưảc hiểu đúng như c á c tương quan đ ó trongkhông cian ơ c l i t . Đ ộ lớn của góc cũng vậy; nên m ổ hình này là m ôhình bảo uiác. Còn khoảng cách Lôbascpki giữa hai điểm A , B đưảctính như sau: qua A và B, dựng cung tròn (hay nửa đường thẳng)trực giao với s (tức là đường thẳng Lôbasepki A B ) . Curm tròn này cắt s ở hai điểm u, V (một trong hai đ i ể mnày ở xa vô lận (rong trường hảp đường thẳng Lôbasepki đưảc biểudiễn bởi một nửa đường thẳng ơclit). 79 Xét mãi phảng U V A B như một mặt phảng phức với các sốphức l i . V , a, b theo thứ tự ứng với bốn điếm u, V, A , B thì khoảngcách Lôbasepki d( A B ) giữa hai điểm A, B là: ũ - li b- li d(AB) = n\\n(LỈVAB)\ = R n :- , a-v b- Vtrong đ ó R là một hệ số tỉ lô thực, dương. Tuy a, b, li, V là những số phức nhưng vì A , R, u, V đồngviên ( c ù n g nằm Irên m ộ i đường tròn hay một đường lhẳnp) nén- — b ~ là môi số thưc. Nếu ABUV là mót đường thảng ơclita — V b - Vxothì điểu này là hiểnnhiên. Sau đây sẽ xéttrường hợp A , B, u,V cùng nằm trên mộtvòng tròn (h. 24).Trong mật phảngphức ta có: ia a - u = ƯA e ip a - V = VA e iy V(v) b - u = UB c b - V = VB e iS Hình 24(X, p, ý, ô là agumencủa các số phức ở các v ế trái. Vậy: a-u h-u ÙA VB a-vb-v VA UBNhưng A , B, u, V đồng viên nên (ƯA, ƯB) = ( V A , V B ) + kít • hay (ÙA, Ox) + ( Ox, UB) = ( VA, Ox) + (Ox, VB) + JC7U hay - a + Y = P + 5 + k 7 ĩ hay - k 7 T = a - P Y + ô a- li b - li. „Agumen của là một bội của 71 nên số đó là thực. a - V b-v Tại sao mô hình Poăngcarê l ạ i n h ư vậy? Có thể trả lòi: V ì C(cí A(a) (b> U(u) V(v) Hình 25 Hình 26 81nó chứa nội dune là hình học Lôbascpki (nội dune quyết định hìnhthức). R õ ràne cổ t h ế thì tiên đề Lôbasopki mới thoa mãn: qua điểmA ử ngoài một đườriíĩ thẳnc, a có vô số đường thane không cắt atrong đ ó có hai đường giới hạn là b, b mà người ta gọi là hai đườngsong sonti với a xuất phát từ A (các đường khác không cái a gọi làsiêu sonc sonu với a) ch. 25). Những tiên đè khác rõ ràng cũng đưựcthoa mãn. Ta chú ý rằng nếu có ba điểm A , B, c thẳng hàng (tứclà cùng nằm trẽn một cung tròn có hai đầu mút u, V trên s vàtrực giao với S) và nếu c ở khoảng giữa A , B và ứng với số phứcc thì (h 26): (uvab) = (uvac)(uvcb) ln(uvab) = ln(uvac) + In(uvcb); và nếu xét cả dấu, cũngsẽ thấy: |ln(wvaồ)| = |ln(MVữc)| + |ln(«vcố)| C á c phép dời hình loại Ì (bảo toàn cả hướng) và loại 2 ( đ ổ ihướng) ở đây là các phép biến đ ổ i phân tuyến phức, z= ——— cz +d az+b(loại ì ) và z= — : (loại 2) với a, b, c, d thực và ad - be * 0. cz+dChúng đ ề u bảo toàn góc (hảo giác) và bảo toàn khoảng cách (vìchúng bảo toàn tỉ số kép hoặc biến đ ổ i tỉ số kép thành số phức liênhựp; nhưng trong vấn đ ể khoảng cách, các tỉ số kép đ ề u thực nêntrong cả hai trường hựp, tỉ số kép đêu đưực bảo toàn). M ô hình thứ hai do nhà toán học Anh Kêli (Cayley Arthur1821 - 1895) và n h à toán học Đức d a n h (Felix Klein 1849 - 1925)đề xuất: Trong khổng íiian ơclit, cho một mặt bậ ...