Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 10

Tham khảo tài liệu kỳ thi olympic truyền thống 30.4 tại tp huế môn toán 10, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 10KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 10 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi tCâu 1 (4 i m). Gi i h phương trình:  2 2 8 xy  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y Câu 2 (4 i m). Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nhnh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay .Câu 3 (4 i m). Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n: 3A 3B A− B sin + sin = 2 cos . 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u.Câu 4 (4 i m). Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m saocho: MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ; MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS . Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD.Câu 5 (4 i m). Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m cót a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. -------------------H T--------------------- Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm áp án Toán 10 N I DUNG I MCâu 1: Gi i h phương trình:  2 2 8xy x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y ( 2)  * i u ki n: x + y > 0 0,5 * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1 ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0 ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 x + y − 4 = 0 (3) 0,5 ⇔  2 2  x + y + 4(x + y) = 0 (4) T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1  x = −3 ⇒ y = 7 x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔  . x = 2 ⇒ y = 2 (4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5 V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5 áp án Toán 10 N I DUNG I MCâu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . 2 2 0,5 Vi t l i F =  x +  +  y +  + a 2 + b 2 . b a 3     ( )  2  2 4 t M = (x; y ) , A =  − ; −  , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5 b a    2 2 2 2  b  a 3 MA =  x +  +  y +  . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2 2 2 .  2  2 a + b2 ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) . 3 3 3 3 1 Suy ra F ≥ 2 a +b 2 4 ( + a2 + b2 ≥ 2 2 )2 a +b 4 . a2 + b2 = 3 .( ) V y min F = 3 t ư c ch ng h n khi 1   (a; b; x; y ) =  2 ; 0; 6 ; − 2  . ...