Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Luận án "Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ" tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình LaneEmden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNHTÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦAMỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNHTÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦAMỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS Nguyễn Như Thắng Hà Nội, 2024 LỜI CAM ĐOAN Luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaPGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãđược các đồng tác giả đồng ý. Các kết quả trong luận án là mới và chưa từngđược công bố trong công trình của ai khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệmnếu có sự không trung thực trong công trình nghiên cứu này. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Quỳnh 1 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Tácgiả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đạihọc và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tácgiả xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ và động viêntrong trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Côngnghiệp Hà Nội, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học cơ bản đã luônủng hộ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gianhọc tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàitrợ để tác giả có thể tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án mộtcách tốt nhất. Tác giả xin trân trọng cảm ơn những người bạn nghiên cứu sinh của Bộ mônGiải tích đã đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em HiềnAnh, anh Thắng .... Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người đã luônyêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luậnán. 2 Mục lụcLỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Cấu trúc và các kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Toán tử Laplace phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Một số tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Nghiệm trên của hệ Lane-Emden phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Chương 2. Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowicz phân thứ 25 2.1. Phát biểu bài toán và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Kết quả về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 2.2. Chứng minh về cận dưới đều và sự không tồn tại nghiệm dương không tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Cận dưới đều của nghiệm . . . . . . . . . . . . . ...