Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân ngẫu nhiên

Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoài ra, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến. Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân ngẫu nhiên ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦYPHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦYPHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015Mục lụcLỜI CẢM ƠN 3MỞ ĐẦU 31 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Phương trình tích phân tất định: . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: . . 9 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: . . . . . . . . . . 11 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . 12 1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục . . . . . . . 25 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: . . . . . . . 292 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FRED- HOLM VÀ VOLTERRA 33 2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: . . . . . . . . . 34 1 2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: . . . . . . . . . . 37 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: . . 40 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41 2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến . . . . . . . . . . . 42 2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải . . . . . . . . . . . . . . . 443 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49 3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 49 3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . 49 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong không gian các hàm liên tục: . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên . . 58 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Tồn tại và duy nhất: . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Tài liệu tham khảo 67 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình củaGS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong KhoaToán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongsuốt quá trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạođiều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, Tháng 4 năm 2015. 3MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phânvà tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầuđược xây dựng. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tínhtích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiềutrong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế. Trong phương trình toán tửtuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứutoán học hiện đại mang lại nhiều kết quả. Trong luận văn Phương trình tích phân ngẫu nhiên này, chúng ta xéthai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoàira, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến.Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh củakhoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phânphi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xâydựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến. 4Chương 1CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Phương trình tích phân tất định:1.1.1 Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: Z b K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.1) a Z b K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.2) alà phương trình Fredholm không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ haitương ứng và phương trình tích phân tuyến tính: Z x K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.3) a Z x K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.4) alà phương trình Vol ...