Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị

Năm 1994, E. Blum và W. Oettli nghiên cứu bài toán cân bằng: Tìm điểm x¯∈K sao cho f(¯x, x)≥0 với mọi x∈K, (EP) trong đó K là tập con nào đó của không gian X và f:K×K→R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f(x,x) 0 với mọi x∈K. Từ bài toán này ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI THẾ HÙNG THÁI NGUYÊN - 2017Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọisự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Nengvue XOUA YI Xác nhận Xác nhậncủa trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học TS. Bùi Thế Hùng iLời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biếtơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôitrong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại họcSư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạođiều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toán Trường trung học phốthông (Tỉnh Xay Som Buon- Lào) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiệngiúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luậnvăn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trongthời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả Nengvue XOUA YI iiMục lụcLời cam đoan iLời cảm ơn iiMục lục iiiMột số ký hiệu và viết tắt vMở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập lồi và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Khái niệm ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Một số tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Nón trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . 9 1.4.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị . . . . 10 1.4.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . 15 1.5 Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị 19 2.1 Định lý điểm cực đại của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . 19 2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Bài toán tựa cân bằng véctơ . . . . . . . . . . . . . . . 24 iiiKết luận 35Tài liệu tham khảo 36 ivMột số ký hiệu và viết tắt N∗ tập các số tự nhiên khác không R tập các số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập các véctơ không âm của Rn Rn− tập các véctơ không dương của Rn Cn không gian các số phức n− chiều {xα } dãy suy rộng ∅ tập rỗng F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F A := B A được định nghĩa bằng B A⊆B A là tập con của B A 6⊆ B A không là tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp A và B A∩B giao của hai tập hợp A và B vA\B hiệu của hai tập hợp A và BA+B tổng véctơ của hai tập hợp A và BA×B tích Descartes của hai tập hợp A và Bconv A bao lồi của tập hợp AcoreB A lõi của A theo Bcl A bao đóng tôpô của tập hợp Aint A phần trong tôpô của tập hợp A(EP ) bài toán cân bằng vô hướng2 kết thúc chứng minh viMở đầu Năm 1994, E. Blum và W. Oettli [6] nghiên cứu bài toán cân bằng: Tìm ¯ ∈ K sao chođiểm x x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, f (¯ (EP )trong đó K là tập con nào đó của không gian X và f : K × K → R là mộthàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K. Từ bài toánnày ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bàitoán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán câ ...