Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các quy tắc tổng tính dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ

Nội dung chính của luận văn trình bày định nghĩa và các tính chất về tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ của hàm lồi. Cuối chương chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hàm liên hợp và định lý tách để phục vụ cho việc chứng minh các kết quả. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các quy tắc tổng tính dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN TRƯỜNG GIANGCÁC QUY TẮC TỔNG TÍNH DƯỚI VI PHÂN VÀ DƯỚI VI PHÂN XẤP XỈ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Dương Thị Việt An THÁI NGUYÊN - 2020Mục lụcDanh mục ký hiệu 2Mở đầu 4Lời cảm ơn 61 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Dưới vi phân và Dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . 9 1.3 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Quy tắc tổng tính dưới vi phân của các hàm lồi 15 2.1 Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản cổ điển . . . . . . 15 2.2 Định lý Moreau-Rockafellar phiên bản hình học . . . . . 20 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Quy tắc tổng tính dưới vi phân xấp xỉ của các hàm lồi 24 3.1 Quy tắc tổng cho dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . 24 3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Kết luận 34 1Danh mục ký hiệu R trường số thực R tập số thực suy rộng R+ tập số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x M ∩N giao của hai tập hợp M và N |x| giá trị tuyệt đối của x ||x|| chuẩn của véctơ x BX hình cầu đơn vị đóng trong X int A phần trong của tập A R+ (A) nón sinh bởi tập A inf f (x) infimum của tập số thực {f (x) | x ∈ K} x∈K sup f (x) supremum của tập số thực {f (x) | x ∈ K} x∈K N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại x ¯ Nε (¯ x; Ω) tập ε- pháp tuyến của Ω tại x¯ 2f∗ hàm liên hợp của hàm ff ∗∗ hàm liên hợp của hàm f ∗δΩ (.) hàm chỉ của tập Ωepi f trên đồ thị của hàm fdom f miền hữu hiệu của hàm fhx∗ , xi giá trị của phiếm hàm x∗ tại x∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x∂ε f (x) dưới vi phân xấp xỉ của hàm lồi f tại xA:X→Y toán tử tuyến tính liên tục từ X vào YA∗ : Y ∗ → X ∗ toán tử liên hợp của toán tử A 3Mở đầu Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứuvề tập lồi và hàm lồi cùng với những vấn đề liên quan. Bộ môn này cóvai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán ứng dụng,đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cânbằng,. . . Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng trong giải tích biếnphân, tối ưu có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khácnhau của các lý thuyết đó. Song song với việc đưa ra các điều kiện đủđể hàm giá trị tối ưu là liên tục Lipschitz địa phương tại một tham sốcho trước, trong khoảng 50 năm trở lại đây, người ta quan tâm nghiêncứu tính ổn định vi phân của các bài toán tối ưu theo nghĩa nghiên cứucác tính chất khả vi và khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu củabài toán đó. Vai trò của tính lồi khi nghiên cứu tính ổn định vi phânkhó có thể đánh giá thấp được. Vào những thập niên sáu mươi của thếkỷ trước, một công thức tiên phong dùng để tính toán dưới vi phâncủa tổng hai hàm lồi được đưa ra bởi J.-J. Moreau và R.T. Rockafellar.Cùng với những nghiên cứu trước đó, các kết quả này dẫn đến một lýthuyết đẹp đẽ về giải tích lồi [5]. Các quy tắc tính toán dưới vi phân cóvai trò cực kì quan trọng trong giải tích lồi và quy hoạch lồi. Năm 1965, 4Brøndsted và Rockafellar [4] đã đưa ra khái niệm ε-dưới vi phân (haycòn gọi là dưới vi phân xấp xỉ) của hàm lồi, đây là khái niệm mở rộngcho khái niệm đạo hàm khi hàm không khả vi. Điều này cho thấy vaitrò của dưới vi phân nói chung và dưới vi phân xấp xỉ nói riêng tronggiải tích hiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm tronggiải tích cổ điển. Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu thamkhảo, và ba chương có nội dung như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị nhắc lại định nghĩa và các tínhchất về tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ của hàmlồi. Cuối chương chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hàm liênhợp và định lý tách để phục vụ cho việc chứng minh các kết quả ở haichương sau. Chương 2: Quy tắc tổng tính dưới vi phân của các hàm lồinghiên cứu hai phiên bản khác nhau của Định lý Moreau-Rockafellar,một kết quả nổi tiếng của Giải tích lồi trong việc tính toán dưới vi phâncủa tổng hai hàm lồi, chính thường. Nội dung cuối chương là phần ápdụng các quy tắc tổng trong việc nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưucủa bài toán tối ưu lồi có ràng buộc tập. Các kết quả của chương đượctổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [6]. Chương 3: Quy tắc tổng tính dưới vi phân xấp xỉ của cáchàm lồi trình bày một quy tắc tổng để tính toán dưới vi phân xấp xỉcủa hai hàm lồi, chính thường. Nội dung của chương được dịch và sắpxếp lại từ Mục 3 của bài báo [3]. Các kết quả về điều kiện cần và đủ tốiưu sử dụng dưới vi phân xấp xỉ cũng được nghiên cứu ở cuối chương này. 5Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Dương Thị ViệtAn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân th ...