Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Hayman đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng

Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman: Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z)f 0 (z) 6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hàm hằng. Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu việt và n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n = 1. Các kết quả này (thường được gọi là Định lý Hayman) và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu là vấn đề nhận giá trị của đa thức vi phân mà trường hợp riêng là vấn đề nhận giá trị của hàm và đạo hàm của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Hayman đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÌNHĐỊNH LÝ HAYMAN ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÌNHĐỊNH LÝ HAYMAN ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - 2015 i Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa sau đại học, Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thànhvà sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Hoài An, người đã tận tình chỉ bảo cho tôi thêm nhiềukiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của Trường Đại học Thái Nguyênvà Viện Toán học đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trongquá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 3 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Bình iiMục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Định lý Hayman đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không 4 1.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không . . . . . . . 5 1.2 Định lý Hayman đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Giả thuyết Hayman đối với hàm số thực trong toán học phổ thông 22 2.1 Giả thuyết Hayman đối với hàm số thực và đạo hàm của nó trên trường số thực R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Giả thuyết Hayman đối với hàm số thực và sai phân của nó trên trường số thực R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 iii Bảng ký hiệuf Hàm hữu tỷn(f, a) Hàm đếm của f tại điểm aT (f ) Hàm độ cao của fK Trường đóng đại số, đặc số khôngR Trường số thực 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman: Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z)f 0 (z) 6= 1với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hàm hằng. Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu việtvà n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n = 1. Các kết quả này (thườngđược gọi là Định lý Hayman) và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánhnghiên cứu là vấn đề nhận giá trị của đa thức vi phân mà trường hợp riêng làvấn đề nhận giá trị của hàm và đạo hàm của nó. Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc vềC.C. Yang - X.H. Hua. Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây. Định lý A. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n > 11 là một sốnguyên và a ∈ C − {0}. Nếu f n f 0 và g n g 0 nhận giá trị aCM thì hoặc f = dgvới dn+1 = 1 hoặc g(z) = c1 .ecz và f (z) = c2 e−cz , ở đó c, c1 , c2 là các hằng sốvà thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 . Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâusắc của I. Lahiri, Q. Han - H.X. Yi, W. Bergweiler, J.K. Langley, K. Liu, L.Z.Yang, L.C. Hong, M.L. Fang, B.Q. Li, P.C. Hu - C.C. Yang, A. Eremenko, G.Frank - X. Hua - R. Vaillancourt... Công cụ sử dụng ở đó là một số kiểu địnhlý chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với các ước lượng giữa các hàm đặctrưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm. Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này thuộcvề J. Ojeda. Năm 2008, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau. Định lý B. Cho f là hàm phân hình trên Cp , n > 2 là một số nguyên vàa ∈ Cp − {0}. Khi đó f n (z)f 0 (z) 6= a với mọi z ∈ Cp thì f là hằng. Gần đây, Ha Huy Khoai and Vu Hoai An [4], Ha Huy Khoai, Vu Hoai Anand Nguyen Xuan Lai [5] đã thiết lập các kết quả tương tự cho hàm phân hình 2p-adic, đạo hàm, toán tử sai phân, đa thức sai phân của nó. Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề: Định lýHayman đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số khôngvà ứng dụng. 2. Mục tiêu nghiên cứu Tổng hợp, trình bày lại các bài giảng về Giả thuyết Hayman cho hàm hữutỷ và đạo hàm của nó trên trường đóng đại số, đặc số không [1]. Đưa ra các ví dụ trong toán học phổ thông để kiểm tra Giả thuyết Haymanđối với hàm số thực, đạo hàm và sai phân của nó trên trường số thực R.3. Nội dung nghiên cứu • Luận văn tìm hiểu tổng quan về Giả thuyết Hayman. • Luận văn tìm hiểu, tổng hợp và trình bày vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đ ...