Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng

Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi một biến, hàm lồi nhiều biến, hàm 7-lồi, hàm s-lồi, bất đăng thức Hermite Hadamard cho hàm lỗi, hàm lồi khả vị, hàm s-lồi và ứng dụng trong chứng minh một số bất đăng thức trong toán phố thông, đánh giá các giá trị trung bình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bất đẳng thức về hàm lồi và ứng dụng „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOAMËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, 10/2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ HÇNG HOAMËT SÈ B‡T NG THÙC V— H€M LÇI V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ngnh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p M¢ sè: 8460113 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC GIO VI–N H×ÎNG DˆN PGS.TS. NGUY™N THÀ THU THÕY THI NGUY–N, 10/2018 iiiMöc löcB£ng kþ hi»u 1Mð ¦u 2Ch÷ìng 1. Hm lçi v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 4 1.1 Hm lçi mët bi¸n v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . 4 1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm lçi . . . 4 1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm lçi kh£ vi 7 1.2 Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . 14 1.2.1 Ùng döng trong ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh . . . 14 1.2.2 Ùng döng chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng . . . . . . . . . . . . . . 17Ch÷ìng 2. Hm lçi suy rëng v ùng döng 21 2.1 Hm J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Hm lçi tr¶n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Hm J -lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Hm s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 ành ngh¾a. V½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 T½nh ch§t cõa hm s-lçi . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm s-lçi . . . . . . 33 2.3.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Mët sè b§t ¯ng thùc mîi ÷ñc thi¸t lªp tø b§t ¯ng thùc HermiteHadamard . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 Mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t . . . 40 ivK¸t luªn 41Ti li»u tham kh£o 42 1B£ng kþ hi»uR tªp sè thücLp [a, b] khæng gian c¡c hm kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b]Co ph¦n trong cõa tªp CA trung b¼nh cëngG trung b¼nh nh¥nH trung b¼nh i·u háaL trung b¼nh lægaritLp trung b¼nh p-lægarit 2Mð ¦u Hm lçi v tªp lçi ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø l¥u bði Holder, Jensen,Minkowski. °c bi»t vîi nhúng cæng tr¼nh cõa Fenchel, Moreau, Rock-afellar vo c¡c thªp ni¶n 1960 v 1970 ¢ ÷a gi£i t½ch lçi trð thnh mëttrong nhúng l¾nh vüc ph¡t triºn nh§t cõa to¡n håc. B¶n c¤nh â, mët sèhm khæng lçi theo ngh¾a ¦y õ nh÷ng công chia s´ mët vi t½nh ch§tno â cõa hm lçi. Chóng ÷ñc gåi l c¡c hm lçi suy rëng (generalizedconvex function). . . Möc ti¶u cõa · ti luªn v«n l tr¼nh by c¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi,hm lçi mët bi¸n, hm lçi nhi·u bi¸n, hm J -lçi, hm s-lçi, b§t ¯ng thùcHermiteHadamard cho hm lçi, hm lçi kh£ vi, hm s-lçi v ùng döngtrong chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong to¡n phê thæng, ¡nh gi¡c¡c gi¡ trà trung b¼nh. Luªn v«n công tr¼nh by mët sè b§t ¯ng thùc suyrëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm kh£ vi n-l¦n, hmJ -lçi, hm s-lçi, hm s-lãm trong c¡c cæng tr¼nh [7], [8] cæng bè n«m 2012v 2017. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh by trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nhby v chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm lçi mëtbi¸n, hm lçi kh£ vi bªc nh§t, bªc hai, bªc n v ùng döng ¡nh gi¡ mëtsè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mët sè bi tªp b§t ¯ng thùc trongch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Ch÷ìng 2 tr¼nh by kh¡i ni»m v· hm J -lçi v mët sè t½nh ch§t cõa lîphm J -lçi, kh¡i ni»m hm s-lçi, t½nh ch§t cõa hm s-lçi, v½ dö v· hm s-lçi.Tr¼nh by c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm s-lçi, tr¼nh by 3chi ti¸t c¡c chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc ny, còng mët sè ùng döng chogi¡ trà trung b¼nh °c bi»t. Luªn v«n ÷ñc hon thnh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n ny, Tr÷íng ¤ihåc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶ncùu. T¡c gi£ xin ÷ñc by tä láng bi¸t ìn ch¥n thnh ¸n c¡c th¦y, cætrong Khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n. °c bi»t, t¡c gi£ xin by tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi PGS.TS. Nguy¹nThà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ hon thnh luªn v«nny. Xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ h¸t sùc thæng c£m, chias´ v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi º tæi câ thº håc tªp, nghi¶n cùu vhon thnh nhúng cæng vi»c cõa m¼nh. Tæi công xin gûi nhúng líi c£m ìn °c bi»t nh§t tîi t§t c£ nhúng ng÷íib¤n th¥n y¶u, nhúng ng÷íi ¢ y¶u m¸n, chia s´ vîi tæi nhúng khâ kh«ntrong khi tæi thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n Thà Hçng Hoa 4Ch÷ìng 1Hm lçi v b§t ¯ng thùcHermiteHadamard Ch÷ìng ny giîi thi»u kh¡i ni»m v· hm lçi; tr¼nh by mët sè b§t ¯ngthùc d¤ng HermiteHadamard cho hm lçi, hm lçi kh£ vi v ùng döng¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t v chùng minh mët sè bi tªpb§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng. Nëi dung cõa ch÷ìng÷ñc têng hñp tø c¡c ti li»u [1], [3], [4], [7], [8] v [10]. ...